[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
347: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/31(月)04:16 ID:M76QQSs2(9/10) AAS
￥
348: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/31(月)04:17 ID:M76QQSs2(10/10) AAS
￥
349(1): 2017/07/31(月)23:55 ID:XzE3duxv(2/2) AAS
AA省
350(1): 2017/08/01(火)11:40 ID:MADJ3GR6(1/3) AAS
>>349
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
上限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,
なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
省2
351: 2017/08/01(火)11:53 ID:MADJ3GR6(2/3) AAS
>>350 訂正
次の同値な2式を入れ替えてください。
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
ｽﾏｿ.
352(1): 2017/08/01(火)14:40 ID:XEmVHg+K(1/2) AAS
AA省
353(2): 2017/08/01(火)15:08 ID:MADJ3GR6(3/3) AAS
>>352
(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。
354: 2017/08/01(火)15:25 ID:XEmVHg+K(2/2) AAS
>>353
問題自体うろ覚えなので…。
355(1): 2017/08/02(水)01:25 ID:RQb3zemz(1/5) AAS
AA省
356: 2017/08/02(水)01:35 ID:iuzeTNl6(1/6) AAS
>>353
3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,
等号成立は x=y のとき。
x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,
-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,
省1
357: 2017/08/02(水)01:47 ID:iuzeTNl6(2/6) AAS
>>355
√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|
△不等式 ｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1
より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき）
358(1): 2017/08/02(水)04:05 ID:RQb3zemz(2/5) AAS
AA省
359(2): 2017/08/02(水)04:16 ID:RQb3zemz(3/5) AAS
AA省
360(1): 2017/08/02(水)13:10 ID:iuzeTNl6(3/6) AAS
>>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.
x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
≦ 3(1-A）・A (←1変数）
≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
≦｛(3-2A)/2}^2
(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき
>>359
省4
361(1): 2017/08/02(水)17:07 ID:RQb3zemz(4/5) AAS
>>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.
気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小
(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。
362(1): 2017/08/02(水)17:46 ID:RQb3zemz(5/5) AAS
AA省
363(1): 2017/08/02(水)21:09 ID:iuzeTNl6(4/6) AAS
>>338
sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)
| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜
= 0,
を利用するか…？
364: 2017/08/02(水)21:26 ID:iuzeTNl6(5/6) AAS
>>362
（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,
（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,
等号成立はそれぞれ、x=1、x=4.
365(2): 2017/08/02(水)22:07 ID:iuzeTNl6(6/6) AAS
>>361
(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。
ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
循環的にたすと
n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
（S_n - S_1)/n も単調増加。
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。
省1
366(1): 2017/08/03(木)02:08 ID:HTpcwzgX(1/5) AAS
>>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換 （a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
省5
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 636 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.010s