[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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368: 2017/08/03(木)04:10 ID:HTpcwzgX(3/5) AAS
>>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。
369: 2017/08/03(木)10:53 ID:Dkz1wYp5(1/3) AAS
>>366
（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}
｜(x-y)(x+y)， -1， 1｜
= ｜ 1，(y-z)/(y+z)， -1｜
｜ -1， 1，(z-x)/(z+x)｜
= 0,
ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=
省5
370(1): 2017/08/03(木)12:33 ID:Tp76V4JM(1) AAS
(1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。
371(1): 2017/08/03(木)15:54 ID:HTpcwzgX(4/5) AAS
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.
372: 2017/08/03(木)19:23 ID:Dkz1wYp5(2/3) AAS
AA省
373(1): 2017/08/03(木)19:38 ID:Dkz1wYp5(3/3) AAS
>>365 の続き
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
それで（1）が明らかなワケではない。
相加-相乗平均
n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。
374(1): 2017/08/03(木)20:03 ID:HTpcwzgX(5/5) AAS
>>373
> * (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？
375(2): 2017/08/04(金)10:49 ID:1Od1zBAC(1) AAS
>>370
勘違いとかあったから訂正
(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3
(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。
376(1): 2017/08/04(金)14:00 ID:EUBWZejf(1) AAS
>>2
> [3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！
377: 2017/08/04(金)19:07 ID:ajzxje+k(1/2) AAS
>>359
そのまま相加-相乗平均で
(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
そうですね。
378(1): 2017/08/04(金)22:15 ID:ajzxje+k(2/2) AAS
>>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。
379: 2017/08/05(土)09:03 ID:Ulw6Zmyj(1/6) AAS
>>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。
380: 2017/08/05(土)09:07 ID:Ulw6Zmyj(2/6) AAS
>>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。
381(3): 2017/08/05(土)09:23 ID:Ulw6Zmyj(3/6) AAS
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
382(1): 2017/08/05(土)10:01 ID:v2fSy4wb(1/3) AAS
>>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない
383: 2017/08/05(土)10:03 ID:v2fSy4wb(2/3) AAS
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)
384(1): 2017/08/05(土)10:06 ID:Ulw6Zmyj(4/6) AAS
>>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)
385: 2017/08/05(土)10:15 ID:Ulw6Zmyj(5/6) AAS
>>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
386: 2017/08/05(土)11:17 ID:v2fSy4wb(3/3) AAS
>>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる
387: 2017/08/05(土)14:47 ID:ACnIlB8L(1) AAS
>>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3 >>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…
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