[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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376(1): 2017/08/04(金)14:00 ID:EUBWZejf(1) AAS
>>2
> [3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！
377: 2017/08/04(金)19:07 ID:ajzxje+k(1/2) AAS
>>359
そのまま相加-相乗平均で
(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
そうですね。
378(1): 2017/08/04(金)22:15 ID:ajzxje+k(2/2) AAS
>>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。
379: 2017/08/05(土)09:03 ID:Ulw6Zmyj(1/6) AAS
>>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。
380: 2017/08/05(土)09:07 ID:Ulw6Zmyj(2/6) AAS
>>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。
381(3): 2017/08/05(土)09:23 ID:Ulw6Zmyj(3/6) AAS
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
382(1): 2017/08/05(土)10:01 ID:v2fSy4wb(1/3) AAS
>>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない
383: 2017/08/05(土)10:03 ID:v2fSy4wb(2/3) AAS
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)
384(1): 2017/08/05(土)10:06 ID:Ulw6Zmyj(4/6) AAS
>>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)
385: 2017/08/05(土)10:15 ID:Ulw6Zmyj(5/6) AAS
>>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
386: 2017/08/05(土)11:17 ID:v2fSy4wb(3/3) AAS
>>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる
387: 2017/08/05(土)14:47 ID:ACnIlB8L(1) AAS
>>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3 >>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…
388(11): 2017/08/05(土)19:20 ID:Ulw6Zmyj(6/6) AAS
>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？
(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2
省24
389(5): 2017/08/05(土)22:22 ID:BdLSvd9B(1/2) AAS
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので
平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0 (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4
390: 2017/08/05(土)22:24 ID:BdLSvd9B(2/2) AAS
うっかり上げてしまった
ガハハ
391: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日)00:03 ID:+CYdGQny(1/21) AAS
￥
392: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日)00:03 ID:+CYdGQny(2/21) AAS
￥
393: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日)00:03 ID:+CYdGQny(3/21) AAS
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394: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日)00:04 ID:+CYdGQny(4/21) AAS
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395: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日)00:04 ID:+CYdGQny(5/21) AAS
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