[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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446: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)15:59 ID:WvFggA1P(23/35) AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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447: 2017/08/09(水)16:02 ID:nXKHrols(1) AAS
>>388
>>432
の(3)ね
448: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)16:53 ID:WvFggA1P(24/35) AAS
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449(11): 2017/08/09(水)17:01 ID:A2I5YGTu(4/10) AAS
AA省
450(3): 2017/08/09(水)17:34 ID:vWdGLnQX(3/4) AAS
>>388
(5) Hlawka の不等式 にござりまする。
（左辺）*（左辺 - 右辺）= Sq + Trig,
Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,
Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
+ (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。
Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。（← Euclid性)
省1
451: 2017/08/09(水)17:42 ID:A2I5YGTu(5/10) AAS
>>450
ありがとう！
452(2): 2017/08/09(水)17:49 ID:A2I5YGTu(6/10) AAS
>>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
省10
453(2): 2017/08/09(水)17:50 ID:A2I5YGTu(7/10) AAS
>>452
(8)の訂正。右辺は２倍ですた。
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b)
454: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)18:14 ID:WvFggA1P(25/35) AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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455(2): 2017/08/09(水)18:51 ID:sOQtPSi2(1) AAS
>>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり
456(2): 2017/08/09(水)19:19 ID:vWdGLnQX(4/4) AAS
>>388 (2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
≧ 3(a+b+c)^2,
※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。
省2
457: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:54 ID:WvFggA1P(26/35) AAS
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458: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:54 ID:WvFggA1P(27/35) AAS
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459: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:54 ID:WvFggA1P(28/35) AAS
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460: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:55 ID:WvFggA1P(29/35) AAS
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461: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:55 ID:WvFggA1P(30/35) AAS
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462: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:55 ID:WvFggA1P(31/35) AAS
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463: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:56 ID:WvFggA1P(32/35) AAS
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464: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:56 ID:WvFggA1P(33/35) AAS
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465: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水)20:56 ID:WvFggA1P(34/35) AAS
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