[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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668: 2017/08/21(月)09:09 ID:QiJqP8rB(1/3) AAS
>>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),
669(3): 2017/08/21(月)17:53 ID:8ztbkIZ8(1) AAS
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、 文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？ 真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？
670(2): 2017/08/21(月)22:19 ID:QiJqP8rB(2/3) AAS
>>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
ゆえ、(2)に帰着する。
(2) aab+aab+bbc ≧ 3aG,
巡回的にたす。
(3) Muirheadの不等式
671: 2017/08/21(月)22:26 ID:QiJqP8rB(3/3) AAS
>>669
>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3) 非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。
672: 2017/08/21(月)22:55 ID:qV/a4a+5(1) AAS
>>670
(3)muilheadで出来ると？
673: 2017/08/22(火)00:50 ID:fGEhoquB(1/8) AAS
AA省
674(1): 2017/08/22(火)00:57 ID:fGEhoquB(2/8) AAS
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)
675: 2017/08/22(火)13:46 ID:yCSUoaY7(1) AAS
>>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b), A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
省4
676: 2017/08/22(火)15:23 ID:fGEhoquB(3/8) AAS
>>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』 で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？
677(8): 2017/08/22(火)18:38 ID:fGEhoquB(4/8) AAS
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)
678(1): 2017/08/22(火)18:49 ID:fGEhoquB(5/8) AAS
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？
679(11): 2017/08/22(火)18:56 ID:fGEhoquB(6/8) AAS
AA省
680(1): 2017/08/22(火)19:09 ID:fGEhoquB(7/8) AAS
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.
681(1): 2017/08/22(火)21:17 ID:fGEhoquB(8/8) AAS
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…
682(1): 2017/08/23(水)17:00 ID:edu8Brze(1/2) AAS
>>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
a=b<c のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。
683: 2017/08/23(水)17:04 ID:edu8Brze(2/2) AAS
>>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
≧（4/27)s^3
= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118
(2)
題意より、0<a〜c<2、
省6
684: 2017/08/23(水)22:42 ID:6dHoZEIo(1/2) AAS
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか
685: 2017/08/23(水)23:35 ID:6dHoZEIo(2/2) AAS
>>678
両方とも逆数考えればいい
686: 2017/08/24(木)00:19 ID:9N+3FV4m(1/3) AAS
>>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略
687(3): 2017/08/24(木)01:23 ID:9N+3FV4m(2/3) AAS
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
≧ 27(aa+bb+cc)tt
≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）
省4
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