[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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51(1): 2017/07/06(木)20:49 ID:nv6IrYms(1) AAS
実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。
52(1): 2017/07/07(金)01:47 ID:aKMbWmCY(1) AAS
>>51
右：
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で
(与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は（x,y,z）=（±1/√2, 0, 干1/√2）
53(1): 2017/07/07(金)16:59 ID:A1/MZg5M(1) AAS
B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。
-1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2
いい証明方法ない蟹？
54(1): 2017/07/08(土)03:52 ID:E7CWjLAg(1/4) AAS
>>53
sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
= (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1-y)^2 F(y)
≧0,
F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
省3
55: 2017/07/08(土)12:59 ID:E7CWjLAg(2/4) AAS
>>54
補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,
訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
≧ 0,
56: 2017/07/08(土)13:38 ID:E7CWjLAg(3/4) AAS
>>47-50
7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ
ただし、1+ω+ω^2 =0.
>>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理
57: 2017/07/08(土)18:05 ID:E7CWjLAg(4/4) AAS
>>47-50
｜a - bω| = c,
aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
a = mm-nn,
b = (2m+n)n,
c = mm+mn+nn,
と表わせる。
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.geocities.jp
省2
58: 2017/07/09(日)17:40 ID:hraGPmBR(1) AAS
〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝
S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96
No.96
59: 2017/07/10(月)03:41 ID:pArAdsTp(1) AAS
>>956 (3)
｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …)
Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861
60(1): 2017/07/12(水)23:08 ID:4DpnFpJn(1) AAS
AA省
61(1): 2017/07/13(木)00:13 ID:aYclV8OY(1/9) AAS
Ono Inequality
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
62(2): 2017/07/13(木)00:58 ID:oVTfqBd/(1/6) AAS
>>60
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgピコーンの等式
>>61
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgオノの不等式
63(1): 2017/07/13(木)01:04 ID:aYclV8OY(2/9) AAS
>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
T.オノって何者だ？
64: 2017/07/13(木)01:06 ID:aYclV8OY(3/9) AAS
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2
65(1): 2017/07/13(木)01:19 ID:aYclV8OY(4/9) AAS
不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）
実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2
さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？
66(2): 2017/07/13(木)01:22 ID:aYclV8OY(5/9) AAS
AA省
67: 2017/07/13(木)03:52 ID:oVTfqBd/(2/6) AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.
(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。
省10
68: 2017/07/13(木)04:08 ID:oVTfqBd/(3/6) AAS
>>66 上
a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）
* Ravi変換とかいうらしい。
69(9): 2017/07/13(木)05:10 ID:aYclV8OY(6/9) AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
省16
70(4): 2017/07/13(木)05:12 ID:aYclV8OY(7/9) AAS
>>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
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