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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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51: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/06(木) 20:49:24.79 ID:nv6IrYms 実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、 (x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/51
52: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/07(金) 01:47:29.44 ID:aKMbWmCY >>51 右： y は x、z の中間にある、とする。 y を x、z の中間で動かすとき、 |x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2, ∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で (与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2, 等号成立は（x,y,z）=（±1/√2, 0, 干1/√2） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/52
53: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/07(金) 16:59:21.21 ID:A1/MZg5M B.4599 Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2. https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。 -1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2 いい証明方法ない蟹？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/53
54: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 03:52:44.12 ID:E7CWjLAg >>53 sin(x) + cos(x) = y とおく。 1 - sin(x)^5 - cos(x)^5 = (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x)) = (1/4) (1-y)^2 F(y) ≧0, F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0, 1 + sin(x)^5 + cos(x)^5 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x)) = (1/4) (1+y)^2 F(-y), ≧ 0, F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0, を使うとか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/54
55: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 12:59:39.37 ID:E7CWjLAg >>54 補足 F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2} ≧ F(-√2) = 8 -5√2, 訂正 1 + sin(x)^5 + cos(x)^5 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x)) = (1/4) (1+y)^2 F(-y), ≧ 0, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/55
56: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 13:38:17.62 ID:E7CWjLAg >>47-50 7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ ただし、1+ω+ω^2 =0. >>52 (x,y,z) は単位球面上の点。 x,zを止めてyだけ動かすのは無理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/56
57: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 18:05:35.83 ID:E7CWjLAg >>47-50 ｜a - bω| = c, aa+ab+bb = cc, とする。 ピタゴラス数との類推により a = mm-nn, b = (2m+n)n, c = mm+mn+nn, と表わせる。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2570_b9.htm http://akademeia.info/index.php?アイゼンシュタイン三角形 http://ameblo.jp/knife1968/entry-10319197699.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/57
58: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/09(日) 17:40:44.04 ID:hraGPmBR 〔Golden-Thompsonの不等式〕 A、Bがエルミート行列のとき、 tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝ S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965) 数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96 No.96 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/58
59: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/10(月) 03:41:28.14 ID:pArAdsTp >>956 (3) ｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …) Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/59
60: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/12(水) 23:08:45.38 ID:4DpnFpJn | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝの等式 |ミ| ／ ｀´ ＼ ('A`) ノヽノヽ くく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/60
61: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:13:50.12 ID:aYclV8OY Ono Inequality http://mathworld.wolfram.com/OnoInequality.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/61
62: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:58:04.61 ID:oVTfqBd/ >>60 http://ja.wikipedia.org/wiki/ピコーンの等式 >>61 http://ja.wikipedia.org/wiki/オノの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/62
63: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:04:00.92 ID:aYclV8OY >>62 オノの不等式 > 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、 > 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。 T.オノって何者だ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:06:35.77 ID:aYclV8OY Ono Inequality 鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、 27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/64
65: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:19:17.26 ID:aYclV8OY 不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。 （つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…） 実数 a,b,c に対して、 (b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/65
66: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:22:59.99 ID:aYclV8OY 任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc (a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ、ｺﾝﾅﾉ ｱｯﾀﾅｧ |ミ| ／ ｀´ ＼ (ﾟ∀ﾟ) ノヽノヽ くく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/66
67: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 03:52:28.15 ID:oVTfqBd/ >>65 a,b,cが鋭角△をなすとき (bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6, S=△ABC、 s=(a+b+c)/2. (左) (bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2 =［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2 ≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角) =［(b+c-a)(c+a-b)］^2, 循環的に掛けて平方根。 (中) 相加-相乗平均より a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3), s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3), S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) (←ヘロンの公式） ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3), ∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3, (右) S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4, ∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/67
68: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 04:08:19.11 ID:oVTfqBd/ >>66 上 a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*) x,y,zは任意の正数。 abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0, 等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△） * Ravi変換とかいうらしい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/68
69: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:10:22.83 ID:aYclV8OY (1) 正の数 a,b,c に対して、 (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+1 (3) a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 (a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ <〇√ ‖ くく 関係ないが、27って よく出てくるよな。 [第6章.908] a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3) [第5章.560] a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、 8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}, [第5章.573] 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO] [第5章.667] 正の数a、b、c、dに対して 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2 [第2章.144] a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:12:12.43 ID:aYclV8OY >>69の訂正 (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/70
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