[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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881: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)00:35 ID:ZSz+2Alj(10/20) AAS
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882: 2017/09/05(火)02:53 ID:3z9XJ0W/(1/3) AAS
>>870 >>871
LHS =（a+b+c)^2（aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。
〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3）または 3(a^3b+b^3c+c^3a)
[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2 p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c）≧0,
883(2): 2017/09/05(火)03:34 ID:3z9XJ0W/(2/3) AAS
>>754 (2)
>>768
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。
S2 - t =｛(a-b)^2 +（b-c)^2 +（c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s･S3 - S2･S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
省6
884: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:37 ID:ZSz+2Alj(11/20) AAS
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885: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:38 ID:ZSz+2Alj(12/20) AAS
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886: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:38 ID:ZSz+2Alj(13/20) AAS
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887: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:38 ID:ZSz+2Alj(14/20) AAS
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888: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:38 ID:ZSz+2Alj(15/20) AAS
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889: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:39 ID:ZSz+2Alj(16/20) AAS
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890: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:39 ID:ZSz+2Alj(17/20) AAS
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891: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:39 ID:ZSz+2Alj(18/20) AAS
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892: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:40 ID:ZSz+2Alj(19/20) AAS
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893: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火)03:40 ID:ZSz+2Alj(20/20) AAS
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894(1): 2017/09/05(火)05:07 ID:q778+o9X(1/2) AAS
>>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
caushyをどう使ったんでせうか？
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。
895: 2017/09/05(火)05:20 ID:q778+o9X(2/2) AAS
わかりました。おじゃましますた。
896: 2017/09/05(火)11:21 ID:3z9XJ0W/(3/3) AAS
>>894
〔補題〕（>>754 (2) のための）
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc）-（ab+bc+ca)｝≧（a+b+c)(a^3+b^3+c^3）≧（aa+bb+cc)^2,
(略証)
左側は
S2（S2+F_0）- s･S3 =｛(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s･S3 -（S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0，（終）
あとは >>883 のとおり。
897(1): 2017/09/06(水)06:00 ID:AYr/rfmQ(1/2) AAS
>>848 >>870 >>871
(aa+bb+cc)^(3/2）=｛(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3）（ss/3 + F_0） （← AM-GM)
= （4sss -9st)/(3√3)
≧（7st -36u)/(3√3） （← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧（3√3)(st -5u)/4 （← st-9u≧0)
= （3√3）｛(ab^3+bc^3+ca^3）+（a^3b+b^3c+c^3a）+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧（3√3）｛(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s, （← AM-GM)
を示した方が簡単なおもしろい不等式…
898: 2017/09/06(水)06:40 ID:XFngCi/7(1/3) AAS
>>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。
２行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。
899(1): 2017/09/06(水)06:47 ID:XFngCi/7(2/3) AAS
すみません、わかりました。
それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。
900: 2017/09/06(水)09:11 ID:VtL80ANE(1) AAS
[問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=農{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)＜H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ
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