[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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935: 2017/09/08(金)14:38 ID:iwl1FmH8(3/10) AAS
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。
936(3): 2017/09/08(金)14:38 ID:Xvh/PpT+(4/4) AAS
>>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
省4
937: 2017/09/08(金)14:40 ID:iwl1FmH8(4/10) AAS
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。
938: 2017/09/08(金)14:48 ID:iwl1FmH8(5/10) AAS
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
939: 2017/09/08(金)16:10 ID:iwl1FmH8(6/10) AAS
検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。
940(1): 2017/09/08(金)16:24 ID:iwl1FmH8(7/10) AAS
>>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。
私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。
チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。
> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ
941(1): 2017/09/08(金)18:03 ID:iwl1FmH8(8/10) AAS
>>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、
a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)
対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。
とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。
942: 2017/09/08(金)22:02 ID:iwl1FmH8(9/10) AAS
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1
第３章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1
[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a
943: 2017/09/08(金)23:40 ID:iwl1FmH8(10/10) AAS
>>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和
チェビシェフは、
同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均
944: 2017/09/09(土)00:56 ID:fG3xA4Le(1/2) AAS
>>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。
凡例 0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）
大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。
懲りずに作るでござる。
〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),
省2
945: 2017/09/09(土)07:38 ID:PPAy6pZb(1/3) AAS
>>930
左側 （a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？
1 + ab = (1-b+ab) + b
と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、
a^b ≧ 1-b+ab
b^a ≦ b
で不等号の向きが揃わない…
946(1): 2017/09/09(土)09:14 ID:PPAy6pZb(2/3) AAS
>>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),
ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？
(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0
947(2): 2017/09/09(土)17:18 ID:fG3xA4Le(2/2) AAS
>>946
その通りでつ。
>>783 に追加
a,b,c>0 に対して、
（aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧…
>>754 (1)(5）より
948: 2017/09/09(土)17:20 ID:+iIUOrjC(1) AAS
トーフトの不等式
949(1): 2017/09/09(土)18:15 ID:PPAy6pZb(3/3) AAS
>>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>>757の証明では、修正済みですね。
>>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
950: 2017/09/10(日)17:07 ID:GGGugCiK(1) AAS
>>949
>>754 (1）
［第3章.727］より
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3,
951(2): 2017/09/11(月)02:33 ID:Ls/z+whG(1/11) AAS
[第３章 843、845] より、
a≧b≧0，c≧d≧0のとき、
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
952(2): 2017/09/11(月)07:41 ID:Ls/z+whG(2/11) AAS
>>951 の類題
[第１章 68、71] より、
実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)
953(2): 2017/09/11(月)08:02 ID:Ls/z+whG(3/11) AAS
>>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。
954(2): 389 2017/09/11(月)09:18 ID:Bpls46N5(1) AAS
>>389の不等式について
元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0 (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>>389の←)
を示せばよい？
近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった
『２１世紀無差別級数学バトル』
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
『白熱！無差別級数学バトル』
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
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