[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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232(2): 2017/07/22(土)15:48 ID:G0nvuSlz(1/2) AAS
>>230

(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X）= s/√(s-X) - √(s-X）
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a）+ f(b）+ f(c）≧ 3f(s/3）= √(3s/2),

(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
　a/√(b+c）=（y+z-x)/(2√x）≧｛2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
　a/√(b+c）+ b/√(c+a）+ c/√(a+b)
　≧｛√(yz/x）+ √(zx/y）+ √(xy/z)}/2　　　　　…(*)
　= (xy+yz+zx)/(2√xyz),

(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz）≧ 3(x+y+z)/4　　　…(**)
　= 3(a+b+c)/2,

*）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
　=｛(xy+yz+zx）-x√(yz) -y√(zx）-z√(xy)}/√(xyz)
　=｛x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
　≧0,

**）（xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z）=｛xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2｝≧ 0,

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