[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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414(4): 2017/08/07(月)14:18 ID:8+FZkWXB(1) AAS
[不等式スレ 第７章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」

> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

> （-1000/√3, 1000/√3）に一票

エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？

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415(1): 2017/08/07(月)22:48 ID:EtB15xZg(1) AAS
>>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する

d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
省1

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