[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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467(8): 2017/08/09(水)22:45 ID:A2I5YGTu(8/10) AAS
AA省
468(1): 2017/08/09(水)22:47 ID:A2I5YGTu(9/10) AAS
>>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。
（証明４）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。
省18
469(2): 2017/08/09(水)22:48 ID:DWUU74oj(2/2) AAS
>>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
省5
470: 2017/08/09(水)22:51 ID:A2I5YGTu(10/10) AAS
>>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜─ !! 素晴らしい！
471(1): 2017/08/10(木)00:03 ID:ZcMNVdrv(1/6) AAS
[出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
472: 2017/08/10(木)01:44 ID:DPXWgKrx(1/4) AAS
>>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz,
473: 2017/08/10(木)02:37 ID:DPXWgKrx(2/4) AAS
>>467
(2)
△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
△の各辺の中点を通る円を考える。
この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
R/2 ≧ r
（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2
474: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:40 ID:JHmEReZW(1/44) AAS
￥
475: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:41 ID:JHmEReZW(2/44) AAS
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476: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:41 ID:JHmEReZW(3/44) AAS
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477: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:41 ID:JHmEReZW(4/44) AAS
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478: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:41 ID:JHmEReZW(5/44) AAS
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479: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:42 ID:JHmEReZW(6/44) AAS
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480: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:42 ID:JHmEReZW(7/44) AAS
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481: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:42 ID:JHmEReZW(8/44) AAS
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482: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:43 ID:JHmEReZW(9/44) AAS
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483: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:43 ID:JHmEReZW(10/44) AAS
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484(1): 2017/08/10(木)02:47 ID:ZcMNVdrv(2/6) AAS
AA省
485: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木)02:48 ID:JHmEReZW(11/44) AAS
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486: 2017/08/10(木)02:58 ID:DPXWgKrx(3/4) AAS
>>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6,
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