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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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538: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 06:15:11.17 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/538
539: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 12:57:10.89 ID:OXujv9yn >>467 (1）を改造... 三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S. (証明３) b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。 (1/3)(a+b+c)^2 =（1/3)(A+B+C)^2 ≧ √{3(A+B+C)ABC} （← AM-GM) =（4√3)S, 三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S. (証明６) b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。 ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 ≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 = AB+BC+CA ≧ √{3(A+B+C)ABC} =（4√3)S, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/539
540: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 12:59:40.46 ID:ToUPXODc ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★ ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/540
541: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 16:26:36.35 ID:XzY0B0Bq a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (1) [AYIN 2012.09] (a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2 (2) [1997 Romania] (a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2 (3) [1996 IMO shortlist.A1] ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1 ---------------------------------------------------- [1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？ [2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？ ／⌒＼ っ ／＼ /'⌒'ヽ ＼ っ／＼ | （●．●） ）／ |: | >冊/ .／ |: / /⌒ ミﾐ ＼ 〆 / ／ |::|λ| | |√7ミ |::| ﾄ、 | |:／ V＿ハ | ／| i | ∧|∧ и .i Ｎ / ヽ） きりがないでござる… λﾍ、| i .ＮV | | | Ｖ＼Ｗ （ 、 ∪ |｜ | ∪∪ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/541
542: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 16:46:26.28 ID:XzY0B0Bq >>467、>>539 さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。 三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r. ? ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆ ┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。 ╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃ ┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・ ∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。 .。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽ 。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く ┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀ 。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ ○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃ ┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛； ヾ ? '、´ ∇ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/542
543: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 17:08:13.18 ID:XzY0B0Bq >>467 >>539 >>542 さらに行けそうだぜ！ ヒャッハー！ http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html 9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい （証明は未だ読んでいない） AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ ヒャッハー！ 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r. ＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！ @ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ！！ ^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ！！ _/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/543
544: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:28:47.81 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/544
545: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:29:04.30 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/545
546: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:29:20.83 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/546
547: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:29:36.61 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/547
548: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:29:52.50 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/548
549: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:30:07.38 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/549
550: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:30:22.15 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/550
551: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:30:56.58 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/551
552: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:31:12.23 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/552
553: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 17:31:29.05 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/553
554: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 18:20:48.72 ID:OXujv9yn >>467 (1）>>539 を再改造… >>541 (2) (aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。 (左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2, (3) ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c, IMO-1996 予選 文献[9］佐藤、演習問題1.15 >>543 abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9, ∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA >>539 により成立。 きりがないでござるよ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/554
555: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 18:50:48.93 ID:XzY0B0Bq >>554 むむむ、再改造とは 恐るべし不等式ヲタ… List of triangle inequalities https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities 彳?” ,イ云” ,.ｯ | ｨ1 |ｌ | 、 ,. '´ ﾚ/ ﾁ? ｒｆ少 ［> |||| || | 迅 / ｒｆ ｆﾘｲ ｛?ｦ _レ-ー､|＿_ト-、 什 （ む ｌト ｛iヌ ｛iヌ _/´,.´ ,. .., 、 ﾌ _ヽ、 ﾉ糸 _,） む 斗 弋ｚ 弋z,. 〃_｀ ／',ニ=ｭ> ｌｘﾆ∠ヽ|_ ｧｚｿ （ む も、 ｀ﾏﾁｔｚ, ｛ G ﾚ‐、ゝー"´=ゝ一'‐, L `┐ ミﾏ辷 ` ＝ｚ.,,__ ! ,ｒ〉 ,二＿,.｛,＿,｝二,,,..､ .｝ ゝ ` ｔ述ｼｔｒ、 ｛`-”し',. '"´`ゝｖ, ｨ/´゛ヽﾚ' ｀つ ｀ー≧= ‐ .,,, ﾄ, || ゝ ひ ﾌ / てｿｊ |:| 〈 ⊂´￣￣ ` 爻ミｚｚ,, | | . || , '´￣ |`￣''` i,| ,）ｒ'" ｀弋≧=ー' | || J ,._| .// ／" ,/､. || ､＿,,,.--､_, // ,.ｒ' !、 ￣ ゝ....,,,,＿＿＿_,,,/,1 ,,.. ‐'ﾌ´ >`､「 ０ C.〕、 ,. ＜ ``､､ ／' ,.ﾍ＞＝＝=====＝< ＼‐- .._ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/555
556: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 19:51:33.31 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/556
557: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/11(金) 19:51:49.80 ID:ToUPXODc ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/557
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