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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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56: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 13:38:17.62 ID:E7CWjLAg >>47-50 7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ ただし、1+ω+ω^2 =0. >>52 (x,y,z) は単位球面上の点。 x,zを止めてyだけ動かすのは無理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/56
57: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/08(土) 18:05:35.83 ID:E7CWjLAg >>47-50 ｜a - bω| = c, aa+ab+bb = cc, とする。 ピタゴラス数との類推により a = mm-nn, b = (2m+n)n, c = mm+mn+nn, と表わせる。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2570_b9.htm http://akademeia.info/index.php?アイゼンシュタイン三角形 http://ameblo.jp/knife1968/entry-10319197699.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/57
58: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/09(日) 17:40:44.04 ID:hraGPmBR 〔Golden-Thompsonの不等式〕 A、Bがエルミート行列のとき、 tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝ S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965) 数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96 No.96 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/58
59: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/10(月) 03:41:28.14 ID:pArAdsTp >>956 (3) ｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …) Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/59
60: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/12(水) 23:08:45.38 ID:4DpnFpJn | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝの等式 |ミ| ／ ｀´ ＼ ('A`) ノヽノヽ くく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/60
61: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:13:50.12 ID:aYclV8OY Ono Inequality http://mathworld.wolfram.com/OnoInequality.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/61
62: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:58:04.61 ID:oVTfqBd/ >>60 http://ja.wikipedia.org/wiki/ピコーンの等式 >>61 http://ja.wikipedia.org/wiki/オノの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/62
63: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:04:00.92 ID:aYclV8OY >>62 オノの不等式 > 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、 > 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。 T.オノって何者だ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:06:35.77 ID:aYclV8OY Ono Inequality 鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、 27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/64
65: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:19:17.26 ID:aYclV8OY 不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。 （つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…） 実数 a,b,c に対して、 (b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/65
66: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:22:59.99 ID:aYclV8OY 任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc (a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ、ｺﾝﾅﾉ ｱｯﾀﾅｧ |ミ| ／ ｀´ ＼ (ﾟ∀ﾟ) ノヽノヽ くく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/66
67: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 03:52:28.15 ID:oVTfqBd/ >>65 a,b,cが鋭角△をなすとき (bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6, S=△ABC、 s=(a+b+c)/2. (左) (bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2 =［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2 ≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角) =［(b+c-a)(c+a-b)］^2, 循環的に掛けて平方根。 (中) 相加-相乗平均より a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3), s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3), S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) (←ヘロンの公式） ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3), ∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3, (右) S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4, ∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/67
68: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 04:08:19.11 ID:oVTfqBd/ >>66 上 a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*) x,y,zは任意の正数。 abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0, 等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△） * Ravi変換とかいうらしい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/68
69: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:10:22.83 ID:aYclV8OY (1) 正の数 a,b,c に対して、 (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+1 (3) a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 (a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ <〇√ ‖ くく 関係ないが、27って よく出てくるよな。 [第6章.908] a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3) [第5章.560] a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、 8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}, [第5章.573] 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO] [第5章.667] 正の数a、b、c、dに対して 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2 [第2章.144] a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:12:12.43 ID:aYclV8OY >>69の訂正 (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/70
71: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 07:03:58.21 ID:aYclV8OY (4) 正の数 a,b,c に対して、 {(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/71
72: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 10:54:34.52 ID:aYclV8OY B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3. A.422、B3987 にも不等式があるね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/72
73: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 17:42:43.45 ID:oVTfqBd/ >>71 (4) (b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。 x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3, x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6, >>72 B.3987 中の b+c に注目する。 （a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad ≧（b+c){(a+b)＋(c+d)} ≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)}, 循環的に掛ける。 B.3989 a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π cos(x）は下に凸だから a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3, ご参考 http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/73
74: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 17:54:31.64 ID:oVTfqBd/ >>73 訂正 B.3989 cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。 (別解) a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/74
75: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 18:37:29.12 ID:oVTfqBd/ >>72 A.422 Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。 Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n, y=√x は上に凸だから (左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] } = n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 } ≦ n (SS - SS/n)} = (n-1) SS, (右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)] = S (n S - S) = (n-1) SS, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/75
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