[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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580: 2017/08/12(土)11:28 ID:rvCA1oPA(2/3) AAS
>>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。
581: 2017/08/12(土)12:31 ID:rvCA1oPA(3/3) AAS
>>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3
582: 2017/08/13(日)16:43 ID:/or+kDcE(1) AAS
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0,
583(4): 2017/08/14(月)03:30 ID:DhVyRLdl(1/2) AAS
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
省7
584(3): 2017/08/14(月)14:19 ID:2wTFMFcz(1/2) AAS
AA省
585(2): 2017/08/14(月)16:40 ID:2wTFMFcz(2/2) AAS
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。
586(1): 2017/08/14(月)21:52 ID:DhVyRLdl(2/2) AAS
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
省8
587(1): 2017/08/15(火)00:00 ID:CDzXTDus(1/2) AAS
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。
588(1): 2017/08/15(火)11:55 ID:MRdTx6vq(1/3) AAS
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ…
589(2): 2017/08/15(火)11:56 ID:MRdTx6vq(2/3) AAS
AA省
590(1): 2017/08/15(火)12:37 ID:MRdTx6vq(3/3) AAS
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
591: 2017/08/15(火)13:03 ID:CDzXTDus(2/2) AAS
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。
592(2): 2017/08/16(水)07:17 ID:QnvYtidY(1/4) AAS
AA省
593: 2017/08/16(水)08:03 ID:QnvYtidY(2/4) AAS
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
594(2): 2017/08/16(水)13:54 ID:QnvYtidY(3/4) AAS
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
595: 2017/08/16(水)14:18 ID:QnvYtidY(4/4) AAS
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
596(1): 2017/08/18(金)01:02 ID:90S02hzN(1) AAS
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
597(3): 2017/08/18(金)11:06 ID:WHydeLcz(1/4) AAS
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
598(2): 2017/08/18(金)12:33 ID:WHydeLcz(2/4) AAS
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
599(1): 2017/08/18(金)17:50 ID:WHydeLcz(3/4) AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
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