[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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602(2): 2017/08/19(土)03:06 ID:HQ7H9Ohy(1/3) AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝　　(←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
　文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9

>>600
　a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
　1より大きい2要素 p,q があったときは
　(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
　このとき相乗平均は変わらず、
　（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
　1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
　= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
　=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
　= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
　≧0
増大します。

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