[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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61(1): 2017/07/13(木)00:13 ID:aYclV8OY(1/9) AAS
Ono Inequality
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
62(2): 2017/07/13(木)00:58 ID:oVTfqBd/(1/6) AAS
>>60
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgピコーンの等式
>>61
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgオノの不等式
63(1): 2017/07/13(木)01:04 ID:aYclV8OY(2/9) AAS
>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
T.オノって何者だ？
64: 2017/07/13(木)01:06 ID:aYclV8OY(3/9) AAS
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2
65(1): 2017/07/13(木)01:19 ID:aYclV8OY(4/9) AAS
不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）
実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2
さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？
66(2): 2017/07/13(木)01:22 ID:aYclV8OY(5/9) AA×
67: 2017/07/13(木)03:52 ID:oVTfqBd/(2/6) AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.
(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。
省10
68: 2017/07/13(木)04:08 ID:oVTfqBd/(3/6) AAS
>>66 上
a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）
* Ravi変換とかいうらしい。
69(9): 2017/07/13(木)05:10 ID:aYclV8OY(6/9) AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
省16
70(4): 2017/07/13(木)05:12 ID:aYclV8OY(7/9) AAS
>>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
71(3): 2017/07/13(木)07:03 ID:aYclV8OY(8/9) AAS
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24
72(4): 2017/07/13(木)10:54 ID:aYclV8OY(9/9) AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.
A.422、B3987 にも不等式があるね。
73(1): 2017/07/13(木)17:42 ID:oVTfqBd/(4/6) AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。
x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,
x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,
>>72
B.3987
中の b+c に注目する。
（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
省8
74: 2017/07/13(木)17:54 ID:oVTfqBd/(5/6) AAS
>>73 訂正
B.3989
cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。
(別解)
a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様
75: 2017/07/13(木)18:37 ID:oVTfqBd/(6/6) AAS
>>72
A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
≦ n (SS - SS/n)}
= (n-1) SS,
(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
省2
76(2): 2017/07/14(金)01:59 ID:54s0BI7v(1/6) AAS
>>72
A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
= S・(n-1)S
でもいいか...
〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
省7
77(6): 2017/07/14(金)02:41 ID:5qutPAyo(1) AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3
(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
省7
78: 2017/07/14(金)04:47 ID:54s0BI7v(2/6) AAS
>>77
(3) はイランMO-2002、A16 かな？
Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL
「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）
79(1): 2017/07/14(金)04:54 ID:54s0BI7v(3/6) AAS
>>76
〔B.3987.改〕
k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}
80: 2017/07/14(金)10:25 ID:54s0BI7v(4/6) AAS
>>66 下
a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,
log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y)
= (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
省2
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