[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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751: 2017/08/31(木)10:46 ID:DG2IOYgq(1) AAS
>>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
= 16｛(a+b+c)/2}^10
= 1/64. （← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2)
752(1): 2017/08/31(木)22:15 ID:A7wnlx0o(1/2) AAS
>>744
a, b, c >0 abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))
753: 2017/08/31(木)22:18 ID:A7wnlx0o(2/2) AAS
>>752
間違えた
a, b, c >0 abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))
754(14): 2017/09/01(金)00:01 ID:3P2EPmWz(1/5) AAS
AA省
755(2): 2017/09/01(金)00:16 ID:3P2EPmWz(2/5) AAS
【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。 ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3}
756: 2017/09/01(金)06:54 ID:3P2EPmWz(3/5) AAS
>>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。
訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3.
757(6): 2017/09/01(金)11:18 ID:QpLZW4eS(1/5) AAS
>>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。
(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,
(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,
(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0, （← AM-GM)
省12
758: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:09 ID:7A4+w7Rv(1/31) AAS
￥
759: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:09 ID:7A4+w7Rv(2/31) AAS
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760: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:10 ID:7A4+w7Rv(3/31) AAS
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761: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:10 ID:7A4+w7Rv(4/31) AAS
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762: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:10 ID:7A4+w7Rv(5/31) AAS
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763: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:10 ID:7A4+w7Rv(6/31) AAS
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764: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:11 ID:7A4+w7Rv(7/31) AAS
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765: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:11 ID:7A4+w7Rv(8/31) AAS
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766: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:11 ID:7A4+w7Rv(9/31) AAS
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767: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)14:12 ID:7A4+w7Rv(10/31) AAS
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768(2): 2017/09/01(金)14:40 ID:QpLZW4eS(2/5) AAS
>>754
(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,
(3)
省5
769: 2017/09/01(金)15:02 ID:QpLZW4eS(3/5) AAS
>>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々１つだけ。
左辺が正のときは４つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a）=（b+c)^2 -（a-d)^2 ≦（b+c)^2,
循環的に掛ける。
770: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金)17:01 ID:7A4+w7Rv(11/31) AAS
￥
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