[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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920: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水)13:24 ID:nJ0wcqLn(18/20) AAS
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921: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水)13:24 ID:nJ0wcqLn(19/20) AAS
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922: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水)13:24 ID:nJ0wcqLn(20/20) AAS
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923(1): 2017/09/07(木)02:11 ID:Fuvmh2la(1) AAS
>>901
ならば 0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき
（下）≧（1-k)*(中）+ k*(上),
はいかがでござる？
924: 2017/09/07(木)05:11 ID:+sD3y4UN(1/5) AAS
>>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。
0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
（1-k)*(中）+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。
その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか？
925(2): 2017/09/07(木)05:11 ID:+sD3y4UN(2/5) AAS
AA省
926: 2017/09/07(木)05:26 ID:+sD3y4UN(3/5) AAS
A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。
927: 2017/09/07(木)06:49 ID:+sD3y4UN(4/5) AAS
(2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}
巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}
( ﾟ∀ﾟ) OK？
928(1): 2017/09/07(木)07:12 ID:+sD3y4UN(5/5) AAS
a, b, c >0 に対して、
2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
（以下無限に続く）
( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。 もう少し綺麗にならんものかな。
929: 2017/09/07(木)22:14 ID:pS+6z7mN(1) AAS
>>901
(上)(中) <= (下)^2
930(8): 2017/09/08(金)03:00 ID:Xvh/PpT+(1/4) AAS
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？
〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
(略証)
・1≦a≦b のとき
b^b ≧（b^a)a^(b-a),
(左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a
=（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
省13
931(1): 2017/09/08(金)08:37 ID:iwl1FmH8(1/10) AAS
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2
そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} …(★)
が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。
932(1): 2017/09/08(金)08:44 ID:iwl1FmH8(2/10) AAS
>>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？
ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
とは別物ですか？
933: 2017/09/08(金)12:36 ID:Xvh/PpT+(2/4) AAS
>>932
>>854 を参照。
a→1/a とすれば
a^b ≦ 1-b+ab
1<b のときは不等号が逆向き。
a=1+x、b=r
934(2): 2017/09/08(金)12:59 ID:Xvh/PpT+(3/4) AAS
>>931
>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)} ……（★）
935: 2017/09/08(金)14:38 ID:iwl1FmH8(3/10) AAS
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。
936(3): 2017/09/08(金)14:38 ID:Xvh/PpT+(4/4) AAS
>>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
省4
937: 2017/09/08(金)14:40 ID:iwl1FmH8(4/10) AAS
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。
938: 2017/09/08(金)14:48 ID:iwl1FmH8(5/10) AAS
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
939: 2017/09/08(金)16:10 ID:iwl1FmH8(6/10) AAS
検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。
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