[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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930(8): 2017/09/08(金)03:00 ID:Xvh/PpT+(1/4) AAS
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？

〔補題〕
a,b>0 のとき　a^a + b^b ≧ a^b + b^a,

(略証)

・1≦a≦b のとき
　b^b ≧（b^a)a^(b-a),
(左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a
=（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
≧ 0,

・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
（左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),

・Max{1,a｝≦b のとき
b^x ≧ a^x より
（左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0,

・0<a,b≦1 のとき、
う〜む。。。思ったよりめんどくせえ。

〔ベルヌーイの式〕
0<a,b≦1 のとき、
1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab),
0<a≦1≦b のとき
1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab),

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