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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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938: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 14:48:12.11 ID:iwl1FmH8 >>936 ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!! http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/938
939: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 16:10:35.21 ID:iwl1FmH8 検索したら… 面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし) a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/939
940: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 16:24:51.04 ID:iwl1FmH8 >>930 > >>925 > 上は対数とってチェビシェフで。 私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。 チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。 > 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。 > 対数とってチェビシェフ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/940
941: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 18:03:30.03 ID:iwl1FmH8 >>930 > 〔補題〕 > a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a, この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、 a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆) 対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。 とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/941
942: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 22:02:47.27 ID:iwl1FmH8 >>936と、第２章 466-467 より、 a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1 第３章 109-111 より、 a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1 [疑問] 次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。 a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/942
943: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 23:40:24.31 ID:iwl1FmH8 >>940 もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？ 同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和 チェビシェフは、 同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/943
944: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 00:56:44.14 ID:fG3xA4Le >>936 簡単ぢゃなかった......orz 0<a,b≦1 のときは？だった。 凡例 0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3） 大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。 懲りずに作るでござる。 〔補題〕 0<a,b，0≦k≦e のとき a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka), >>941 a≧b ⇒ a^a，b^a ≧ b^b が成立たないところが… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/944
945: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 07:38:47.20 ID:PPAy6pZb >>930 左側 （a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？ 1 + ab = (1-b+ab) + b と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、 a^b ≧ 1-b+ab b^a ≦ b で不等号の向きが揃わない… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/945
946: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 09:14:36.51 ID:PPAy6pZb >>930 > ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、 > （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺), ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？ (a^a + b^b) - (a^b + b^a) = (a^a - a^b) + (b^b - b^a) ≧0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/946
947: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 17:18:16.44 ID:fG3xA4Le >>946 その通りでつ。 >>783 に追加 a,b,c>0 に対して、 （aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧… >>754 (1)(5）より http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/947
948: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 17:20:25.53 ID:+iIUOrjC トーフトの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/948
949: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/09(土) 18:15:23.39 ID:PPAy6pZb >>947 すまぬ、不等号の向きが逆でござる。 >>757の証明では、修正済みですね。 >>754 (1) 【訂正】 a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/949
950: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 17:07:26.90 ID:GGGugCiK >>949 >>754 (1） ［第3章.727］より （aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/950
951: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 02:33:18.51 ID:Ls/z+whG [第３章 843、845] より、 a≧b≧0，c≧d≧0のとき、 √（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/951
952: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 07:41:49.10 ID:Ls/z+whG >>951 の類題 [第１章 68、71] より、 実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/952
953: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 08:02:10.25 ID:Ls/z+whG >>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/953
954: 389 [sage] 2017/09/11(月) 09:18:52.80 ID:Bpls46N5 >>389の不等式について 元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上) (>>389の←) を示せばよい？ 近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった 『２１世紀無差別級数学バトル』 https://www.amazon.co.jp/dp/4894714248 『白熱！無差別級数学バトル』 https://www.amazon.co.jp/dp/4535786720 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/954
955: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 10:40:19.10 ID:Ls/z+whG >>954 2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60 近畿大学『数学コンテスト』／12年の歩みを振り返って／大野泰生＋佐久間一浩 https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5364.html に解説があるやもしれぬ… ('A`) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/955
956: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 14:27:23.93 ID:lLjA+cjN >>952 3直線 OA、OB、OC を ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3, となるようにとる。 OA上、座標xの点をX， OB上、座標yの点をY， OC上、座標zの点をZ とする。 このとき XY = √(xx-xy+yy), YZ = √(yy-yz+zz), ZX = √(zz+zx+xx), XY + YZ ≧ ZX, 等号成立条件は y(x+z)=xz．｛x=z=2y も含む.} >>953 ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/956
957: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 14:33:07.83 ID:Ls/z+whG >>956 問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/957
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