[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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930(8): 2017/09/08(金)03:00 ID:Xvh/PpT+(1/4) AAS
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？
〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
(略証)
・1≦a≦b のとき
b^b ≧（b^a)a^(b-a),
(左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a
=（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
省13
933: 2017/09/08(金)12:36 ID:Xvh/PpT+(2/4) AAS
>>932
>>854 を参照。
a→1/a とすれば
a^b ≦ 1-b+ab
1<b のときは不等号が逆向き。
a=1+x、b=r
934(2): 2017/09/08(金)12:59 ID:Xvh/PpT+(3/4) AAS
>>931
>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)} ……（★）
936(3): 2017/09/08(金)14:38 ID:Xvh/PpT+(4/4) AAS
>>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
省4
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