[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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930: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 03:00:35.95 ID:Xvh/PpT+ >>925 上は対数とってチェビシェフで。 下はどうでおじゃる？ 〔補題〕 a,b>0 のとき　a^a + b^b ≧ a^b + b^a, (略証) ・1≦a≦b のとき 　b^b ≧（b^a)a^(b-a), (左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a =（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a) ≧ 0, ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、 （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺), ・Max{1,a｝≦b のとき b^x ≧ a^x より （左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0, ・0<a,b≦1 のとき、 う〜む。。。思ったよりめんどくせえ。 〔ベルヌーイの式〕 0<a,b≦1 のとき、 1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab), 0<a≦1≦b のとき 1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab), http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/930

933: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 12:36:41.94 ID:Xvh/PpT+ >>932 >>854 を参照。 a→1/a とすれば 　a^b ≦ 1-b+ab 1<b のときは不等号が逆向き。 a=1+x、b=r http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/933

934: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 12:59:14.60 ID:Xvh/PpT+ >>931 >>930 より a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a), 巡回的にたして AM-GMする。 a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2 ≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}　……（★） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/934

936: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/08(金) 14:38:44.92 ID:Xvh/PpT+ >>930 >>934 〔補題〕 0<a≦b,　0<c≦d のとき a^c + b^d ≧ a^d + b^c, (略証) m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。 題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h, よって a^c - a^d - b^c + b^d = a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h) = a^m｛a^(-h）- a^h｝+ b^m｛b^h - b^(-h)} ≧ a^m（b^h - a^h）{1 +（ab)^(-h)} ≧ 0, 簡単だった... http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/936

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