[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 8単位目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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529(1): 2017/10/04(水)14:27 ID:DglZq4kI(1) AAS
境界お省きたいから
530: 2017/10/04(水)16:06 ID:ExmUup4E(2/2) AAS
>>528
[逆関数の定理]
φは R^n → R^n の C^k 級連続写像 (k≧1, 簡単のため φ(0) = 0 としてます)
ヤコビアン det(∂φi/∂xj) ≠ 0 (at x=0) の時、十分小さい近傍を取れば逆関数が存在し C^k 級である。
Q(0; r): 中心0, 幅r の超立方体で境界を含まない。
Q^{–}: Qの閉包、つまり境界を含む
本の証明では まず Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なのを示してます。
>>529
Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なら 当然 Q(0, r) 上 で 1 : 1 。
しかし、この時点では φ( Q(0, r) ) が開集合である保証はない。
省2
531(1): 2017/10/04(水)22:18 ID:/zJIohP0(2/2) AAS
特定の構成法を使うのは、その方法だとC^rを示せるから
φ(Q(0; r)) ⊃ Q(0; r/2) の条件は縮小拡大を正規化して計算の手間を省くため
532: 2017/10/05(木)10:51 ID:LIIMFJFt(1) AAS
>>531
いやいや "開" 集合間の写像に持っていくためって事で合ってるでしょう。(つまり「境界を省きたいから」)
逆写像がC^r級 なのを示すのにその辺りは使ってませんよ。
１：１ 連続写像なので、 実は「Q(0; r) 上で φ は 開写像」なんですが、それを保証するのが [領域不変の定理]
だから [領域不変の定理] を認めるなら、Q(0; r/2) (開集合)上で逆関数を具体的に構成する必要なんてないです。
とはいえそっちの定理の証明にはホモロジー代数とかハイレベルな内容(未着手なので詳細は知らない)を含むので、避けるのは当然かなと。
533: 2017/10/05(木)11:10 ID:njaouzAb(1) AAS
誤植が大杉
534(3): 2017/10/06(金)21:55 ID:j+W/kn2O(1) AAS
「可算選択公理」って「証明」できないんですか？アタリマエとして「認める」しかないんですか？
535(1): 2017/10/07(土)00:54 ID:NGXdrdFG(1/3) AAS
認めたくなけりゃ認めんでもいいさ
536: 2017/10/07(土)03:46 ID:qkYG9k08(1) AAS
線形代数がよく分かんないのですが僕が悪いんですか？
537: 2017/10/07(土)03:49 ID:VaLUqoP/(1) AAS
そや
538: 2017/10/07(土)13:14 ID:NGXdrdFG(2/3) AAS
悪いも良いも無い
単に勉強しない結果
539: 2017/10/07(土)13:47 ID:GSLIc0TI(1) AAS
納得できなさを突き詰め続けると新しい理論に化けるかもね。
540: 2017/10/07(土)14:52 ID:qdhD/Xn1(1) AAS
それを車輪の再発明という
541: 2017/10/07(土)21:31 ID:NGXdrdFG(3/3) AAS
ただの逃避
542: 2017/10/08(日)01:55 ID:plWIUVyf(1) AAS
毛の薄い頭皮
543: 534 2017/10/08(日)09:30 ID:9CGp1SJV(1/2) AAS
>>535
認めなきゃ数学の議論にならないと思うので認めはしますが，
もっと根源的（？）公理（実数の連続性とか）から証明できないのかなあ…と思って
544: 534 2017/10/08(日)09:32 ID:9CGp1SJV(2/2) AAS
（一般の）選択公理でなくて「可算選択公理」ですが無理なもんは無理ですかね
545: 2017/10/08(日)10:19 ID:thqfNAAA(1) AAS
可算だろうが非可算だろうが、無限個の集合に対する公理がなければ無理だろう
546(1): 2017/10/08(日)11:24 ID:gZfMPWj6(1/2) AAS
証明できない事が証明されてる
547(1): 2017/10/08(日)11:37 ID:jERVOI3Y(1/6) AAS
証明できないことを証明するとき、つまりメタレベルでどんな公理を採用するかは問題にされないのが不思議
ヘンテコな数学的公理の下でメタ議論すればZFから選択公理を導ける可能性はあるんじゃないの？
548(1): 2017/10/08(日)11:54 ID:62Wk3QBs(1/9) AAS
>>547
やれよ
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