[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 8単位目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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547(1): 2017/10/08(日)11:37 ID:jERVOI3Y(1/6) AAS
証明できないことを証明するとき、つまりメタレベルでどんな公理を採用するかは問題にされないのが不思議
ヘンテコな数学的公理の下でメタ議論すればZFから選択公理を導ける可能性はあるんじゃないの？
549(1): 2017/10/08(日)12:15 ID:jERVOI3Y(2/6) AAS
>>548
極端な話、メタ公理系が矛盾していれば選択公理を導けてしまう
そしてもちろん、メタ公理系が無矛盾かどうかを予め知る方法はない
550: 2017/10/08(日)12:21 ID:jERVOI3Y(3/6) AAS
不完全性定理は非常に弱いメタ公理系の下で証明できるので、これは疑っても仕様がない
しかし、選択公理が証明できないことの証明ではメタ公理系として集合論を採用したので、実は別の選択肢もあった気がしてならない
552(1): 2017/10/08(日)12:41 ID:jERVOI3Y(4/6) AAS
>>551
結局そういうことだよね
「数学は自由だ」という標語があるけど、メタ議論するときは選択の余地なくZFを唯一の真理であるかのように扱う
その自覚すらなくZFに縛られてる人も多いんじゃないかな
553(2): ｓ 2017/10/08(日)12:45 ID:jERVOI3Y(5/6) AAS
たとえば>>546だけど、証明できない事が”どんな仮定の下で”証明されているのか、一度でも気に懸けたことはあった？
558: 2017/10/08(日)16:45 ID:jERVOI3Y(6/6) AAS
>>555
メタ数学が対象とする形式的数学は「証明という行為」を理想化したものだから、
飽くまでも理想化された対象にだけ言及するなら、そういう数学理論だと思っていいんだろうね
数理物理が数学理論であるのと同じ意味で
でもメタ数学は形式化されていない生の数学における証明可能性まで主張する（代数幾何でモデル理論を用いたり）
人間が証明を行っているこの宇宙で、まるでZFの公理が成立すると暗に仮定しているかのようだ
ZFは納得がいく、多くの人に支持されている等の根拠では済まされない、重大な間違いの可能性を残してると思う
「ZFは宇宙の真理であり、人間の行為もそれに従う」
ここまで言い切ってしまえば、これはこれで一貫した理論になるけども
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