現代数学の系譜古典ガロア理論を読む37 [無断転載禁止]©2ch.net

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550: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 07:44:55.88 ID:bM/5YfPT

>>537 補足追加

無限が話題になっているので、関連部分引用
”時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
(抜粋)
宇宙 (数学)

通常の数学

研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。
言い換えれば、X 上の二項関係 (デカルト積の部分集合 X × X) 、もしくは X からそれ自身への写像を考えれば、P(X × X) もしくは X^X のような宇宙が要請される。

したがって、主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。
(略、本文ご参照)
S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！ 自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。 実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。 時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。

しかし、S{} は通常の（有限主義者ではない）数学者にとっては不足である。なぜなら、N が S{} の部分集合として利用可能であるとはいえ、依然として N の冪集合は利用不可能だからである。 特に、実数の任意の集合は利用不可能である。 そのため、もう一度上記のプロセスを開始して S(S{}) を形成する必要があるだろう。
しかし、物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。 これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。
例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。 超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。 研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/550

552: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 08:27:27.72 ID:bM/5YfPT

>>551
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。

>スレ主はアリストテレスを読んだことがないだろう。

はい。お説の通りです（＾＾
これからちょっと読んでみようかと。
ところで、下記など、ご参考に。もうご存知と思いますが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E8%AB%96
宇宙論
(抜粋)
宇宙論（英語：cosmology）あるいはコスモロジーとは、「宇宙」や「世界」などと呼ばれる人間をとりかこむ何らかの広がり全体[1]、広義には、それの中における人間の位置、に関する言及、論[2]、研究などのことである。
コスモロジーには神話、宗教、哲学、神学、科学（天文学、天体物理学）などが関係している。

目次 [非表示]
1 概論
2 宇宙論の歴史
2.1 古代インド
2.2 様々な神話
2.2.1 関連項目
2.3 古代ギリシャ
2.3.1 関連項目
2.4 新約聖書
2.5 プトレマイオス
2.6 イスラーム世界
2.6.1 関連項目
2.7 ヨーロッパ中世
2.7.1 関連項目
3 現代
3.1 関連項目

概論[編集]
古代においても、人間は自身をとりかこむ世界について語っていた。
古代インドではヴェーダにおいて、「無からの発生」や「原人による創造」といった宇宙創生論が見られ、後には「繰り返し生成・消滅している宇宙」という考え方が現れたという。
古代ギリシャにおいては、エウドクソス、カリポス、アリストテレスらが、地球中心説を構築した。アリストテレスはcelestial spheresは永遠不変の世界で、エーテルを含んでいる、と考えた。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%AE%87%E5%AE%99%E4%BB%AE%E8%AA%AC
数学的宇宙仮説
(抜粋)
数学的宇宙仮説 (mathematical universe hypothesis, MUH) とは、マックス・テグマークによって提唱された、物理学および宇宙論における思弁的な万物の理論 (TOE)である[1]。究極集合 (Ultimate Ensemble) とも呼ばれる。
目次 [非表示]
1 記述
2 批判と応答
2.1 集合の定義
2.2 ゲーデルの理論との整合性
2.3 可観測性
2.4 急進的プラトン主義のもっともらしさ
2.5 全ての数学的構造の共存
2.6 われわれの"単純な宇宙"との整合性
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/552

561: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 20:32:39.84 ID:bM/5YfPT

>>524の続き >>528＆>>539、>>558

「小学生向け対偶講座２　対偶：ベン図を書いて理解しよう！『結論が不成立なら、条件も不成立！』」

先の
http://yama-taku.science/mathematics/logic-and-sets/converse-inverse-and-contraposition/
論理と集合の基本5|「逆，裏，対偶」と対偶の利用 合格タクティクス 2015.12.20
2 逆，裏，対偶
3.1 集合(ベン図)

を使う

１．対偶とは、『結論が不成立なら、条件が不成立！』ということ。ここは押さえておこう
　元の命題：条件P→結論Q （PならばQが成立）
　対偶命題：結論不成立Q~→条件不成立P~ （Q~ならばP~が成立）。繰返すが、『結論が不成立なら、条件も不成立！』
　（P~：Pの否定、Q~：Qの否定）

２．ベン図を書いて理解しよう！（上記URLご参照）
　１）四角で、全体集合Uを表す
　２）大小二つの円、同心円を少しずらした形を描こう。内側の小さい円が集合P。外の大きい円が集合Qだ
　３）（元の命題）条件P→結論Q：集合 P⊂Q
　４）（対偶命題）条件Q~→結論P~：集合 Q~⊂P~

３．時枝記事に当てはめると・・
　１）全体集合Uとして、ZFC公理系の適当な宇宙とする（例えば、下記 フォン・ノイマン宇宙 V など）
　２）時枝記事の条件P、結論Qとは何だろうか？
　３）結論Qは、ある箱の中の数を開けずに確率99/100で的中できる。
　４）条件Pは、可算無限個の箱に勝手な数を入れるということだが、
　　ゼルプスト殿下(藤田博司先生)の説では、数列を順序数ωに制限する必要があるという。（>>180 PDFのP116より http://tenasaku.com/academia/notes/kansaimath8-tenapyon-slides.pdf ）
　　つまり、順序数ω以外に、ω + ω またはω * 2の数列や、ω + ω + ω またはω * 3の数列など、これらも可算無限の数列になるという
　　が、ω * 2の数列や、ω * 3の数列では、決定番号のロジックがうまく働かないからダメだと＊）
４）なので、条件Pの否定は、つまりP~ ∋ω * 2の数列 などとなる。
５）だから、対偶 Q~ → P~ で、『結論が不成立なら、条件も不成立！』で、つじつまは、合っている！

注＊）順序数ωは、小学生の君の頭では、少し難しいかな？（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/561

564: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 21:12:12.64 ID:bM/5YfPT

>>542
ピエロくん、どうも。スレ主です。

君は本当に笑いを取る名人だね

下記に、ゼルプスト殿下(藤田博司先生)の説>>561 と同じことが書いてあるよ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
整列集合
数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "?" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ? に関する最小元をもつものをいう。
あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ?) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

順序数
無限集合についても、その順序型はそれに属する基数を一意的に決定するが、逆は成り立たず、同じ基数をもつ整列集合で相異なる順序型を持つものが無数に存在しうる。たとえ可算無限集合だとしても、その集合の順序型として可能なものの数は非可算である。

例と反例[編集]
自然数の全体 N

（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ? が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。

実数からなる集合[編集]
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ? を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/564

569: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 23:15:43.54 ID:bM/5YfPT

>>541
>soloveyのモデルでは、実数全体は整列可能ではないが

Soloveyのモデルを、きちんと読んでるのかな？ 言っていることが意味不明。何を言いたいのかな？
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
(抜粋)
Solovay model
From Wikipedia, the free encyclopedia
In the mathematical field of set theory, the Solovay model is a model constructed by Robert M. Solovay (1970) in which all of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory (ZF) hold, exclusive of the axiom of choice, but in which all sets of real numbers are Lebesgue measurable. The construction relies on the existence of an inaccessible cardinal.

In this way Solovay showed that the axiom of choice is essential to the proof of the existence of a non-measurable set, at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC, the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory including the axiom of choice.

Construction

Instead of using Solovay's model N, one can also use the smaller inner model L(R) of M[G], consisting of the constructible closure of the real numbers, which has similar properties.

Complements

See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.

Shelah & Woodin (1990) showed that if supercompact cardinals exist then every set of reals in L(R), the constructible sets generated by the reals, is Lebesgue measurable and has the Baire property; this includes every "reasonably definable" set of reals.
(引用終り)

Solovay 1970 原論文
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-03/solovay.pdf
A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable
Robert M. Solovay The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 92, No.1 (Jul., 1970), 1-56.

http://www.math.wisc.edu/~miller/index.html
Arnold W. Miller

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/569

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