現代数学の系譜古典ガロア理論を読む37 [無断転載禁止]©2ch.net

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561: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 20:32:39.84 ID:bM/5YfPT

>>524の続き >>528＆>>539、>>558

「小学生向け対偶講座２　対偶：ベン図を書いて理解しよう！『結論が不成立なら、条件も不成立！』」

先の
http://yama-taku.science/mathematics/logic-and-sets/converse-inverse-and-contraposition/
論理と集合の基本5|「逆，裏，対偶」と対偶の利用 合格タクティクス 2015.12.20
2 逆，裏，対偶
3.1 集合(ベン図)

を使う

１．対偶とは、『結論が不成立なら、条件が不成立！』ということ。ここは押さえておこう
　元の命題：条件P→結論Q （PならばQが成立）
　対偶命題：結論不成立Q~→条件不成立P~ （Q~ならばP~が成立）。繰返すが、『結論が不成立なら、条件も不成立！』
　（P~：Pの否定、Q~：Qの否定）

２．ベン図を書いて理解しよう！（上記URLご参照）
　１）四角で、全体集合Uを表す
　２）大小二つの円、同心円を少しずらした形を描こう。内側の小さい円が集合P。外の大きい円が集合Qだ
　３）（元の命題）条件P→結論Q：集合 P⊂Q
　４）（対偶命題）条件Q~→結論P~：集合 Q~⊂P~

３．時枝記事に当てはめると・・
　１）全体集合Uとして、ZFC公理系の適当な宇宙とする（例えば、下記 フォン・ノイマン宇宙 V など）
　２）時枝記事の条件P、結論Qとは何だろうか？
　３）結論Qは、ある箱の中の数を開けずに確率99/100で的中できる。
　４）条件Pは、可算無限個の箱に勝手な数を入れるということだが、
　　ゼルプスト殿下(藤田博司先生)の説では、数列を順序数ωに制限する必要があるという。（>>180 PDFのP116より http://tenasaku.com/academia/notes/kansaimath8-tenapyon-slides.pdf ）
　　つまり、順序数ω以外に、ω + ω またはω * 2の数列や、ω + ω + ω またはω * 3の数列など、これらも可算無限の数列になるという
　　が、ω * 2の数列や、ω * 3の数列では、決定番号のロジックがうまく働かないからダメだと＊）
４）なので、条件Pの否定は、つまりP~ ∋ω * 2の数列 などとなる。
５）だから、対偶 Q~ → P~ で、『結論が不成立なら、条件も不成立！』で、つじつまは、合っている！

注＊）順序数ωは、小学生の君の頭では、少し難しいかな？（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/561

564: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 21:12:12.64 ID:bM/5YfPT

>>542
ピエロくん、どうも。スレ主です。

君は本当に笑いを取る名人だね

下記に、ゼルプスト殿下(藤田博司先生)の説>>561 と同じことが書いてあるよ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
整列集合
数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "?" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ? に関する最小元をもつものをいう。
あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ?) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

順序数
無限集合についても、その順序型はそれに属する基数を一意的に決定するが、逆は成り立たず、同じ基数をもつ整列集合で相異なる順序型を持つものが無数に存在しうる。たとえ可算無限集合だとしても、その集合の順序型として可能なものの数は非可算である。

例と反例[編集]
自然数の全体 N

（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ? が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。

実数からなる集合[編集]
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ? を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/564

569: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 23:15:43.54 ID:bM/5YfPT

>>541
>soloveyのモデルでは、実数全体は整列可能ではないが

Soloveyのモデルを、きちんと読んでるのかな？ 言っていることが意味不明。何を言いたいのかな？
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
(抜粋)
Solovay model
From Wikipedia, the free encyclopedia
In the mathematical field of set theory, the Solovay model is a model constructed by Robert M. Solovay (1970) in which all of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory (ZF) hold, exclusive of the axiom of choice, but in which all sets of real numbers are Lebesgue measurable. The construction relies on the existence of an inaccessible cardinal.

In this way Solovay showed that the axiom of choice is essential to the proof of the existence of a non-measurable set, at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC, the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory including the axiom of choice.

Construction

Instead of using Solovay's model N, one can also use the smaller inner model L(R) of M[G], consisting of the constructible closure of the real numbers, which has similar properties.

Complements

See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.

Shelah & Woodin (1990) showed that if supercompact cardinals exist then every set of reals in L(R), the constructible sets generated by the reals, is Lebesgue measurable and has the Baire property; this includes every "reasonably definable" set of reals.
(引用終り)

Solovay 1970 原論文
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-03/solovay.pdf
A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable
Robert M. Solovay The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 92, No.1 (Jul., 1970), 1-56.

http://www.math.wisc.edu/~miller/index.html
Arnold W. Miller

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/569

570: ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 23:17:26.55 ID:bM/5YfPT

余談だが、Prof. Emeritus Hiroshi Gunji 訃報 （あまり存じ上げていないが、アップしておきます） （原文顔写真付き）
”Hiroshi received his PhD from Johns Hopkins University in 1962, under the direction of Jun-ichi Igusa. His thesis was entitled "Some properties of curves of genus 2 representing singular points of variety of moduli." ”だと
http://www.math.wisc.edu/node/681
Remembering Hiroshi Gunji
Prof. Emeritus Hiroshi Gunji passed away recently from a stroke. He retired in 2001. He was a dedicated teacher of calculus, and not many semesters went by when he wasn't lecturing in a calculus course.

Hiroshi received his PhD from Johns Hopkins University in 1962, under the direction of Jun-ichi Igusa. His thesis was entitled "Some properties of curves of genus 2 representing singular points of variety of moduli."
He spent two years at Cornell University, then two years at the University of Saskatchewan before coming to Madison in 1966 as an assistant professor. Hiroshi did important research in number theory and had four PhD students during his tenure in Madison.
He had an tremendous impact on our graduate program as chair for very many years of the graduate admissions committee.

One incident which shows how much Hiroshi was admired by his students occurred in a calculus course in which he was lecturing.
Hiroshi was using a microphone with a wire attached and it would often get wound up around his feet. Students took up a collection to buy a wireless microphone, distributing leaflets which contained the words "Free Professor Gunji!"

For many years Hiroshi was an amateur artist, he and Josh Chover were close friends and often painted together.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/570

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