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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む38 [無断転載禁止]©2ch.net (772ﾚｽ)
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210: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:06:37.49 ID:RAsnrf+s １．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。 「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい. もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる. 今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう. どの箱を閉じ
たまま残すかはあなたが決めうる. 勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け. 勝つ戦略はあるでしょうか?」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/210
211: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:06:52.73 ID:RAsnrf+s ２．続けて時枝はいう 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている. 但しもっときびしい同値関係を使う. 実数列の集合 R^Nを考える. s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版). 念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs&
quot;が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する. 〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく. 幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる. 任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ. sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す. つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる. 更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>
;=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・ が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり， 結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう. (補足) sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/211
212: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:07:34.57 ID:RAsnrf+s ３．つづき 問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる. 箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字). これらの列はおのおの決定番号をもつ. さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第10
0列の箱を全部開ける. 第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく. 開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す. いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま D >= d(S^k) を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった. おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる. 確率1-ε で勝てることも明らかであろう. (補足) S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/212
213: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:08:55.65 ID:RAsnrf+s ったくテンプレに入れろよな スレ立てすら満足にできんのか？ >>201 これが時枝記事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/213
214: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:11:42.00 ID:RAsnrf+s 「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている. その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」 「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない. しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う. 現代
数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ. だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう. 確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/214
215: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:12:05.38 ID:RAsnrf+s 「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う. 確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…である. いったい無限を扱うには， (1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う， 二つの方針が可能である. 確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ. (独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.) しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たち
の戦略は頓挫してしまう. n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって， その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， 当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから. 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる. ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」 ”ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう. 何か条件が抜け落ちているのではな
いか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい. 条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ. ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある. この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.” http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/215
216: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:13:19.80 ID:RAsnrf+s 記事の”後半部分”と云われている箇所を追加しておきました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/216
217: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:19:24.84 ID:XxcSa4Kb 失せろや恥さらし 数学屋のつもりやろけど 全然あかんでｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/217
218: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 15:56:38.76 ID:BjC0xyI+ >>212 >.この仮定が正しい確率は99/100 これはなんで？ むしろ0じゃないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/218
219: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:01:59.23 ID:BjC0xyI+ 最初はd(S^k)が最大である確率は確かに1/100だろうけど 情報が増えてS^k以外を全部開けたら確率は0になっちゃわない？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/219
220: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:03:30.98 ID:VnwS7U3w >>218 以下参照 （100列ではなく6列の場合の説明 確率は5/6) ○ 代表元との不一致箇所 ● 代表元との一致箇所 s1 ○●●●●●●●● ・・・ s2 ○○○○●●●●● ・・・ s3 ●●●●●●●●● ・・・ s4 ○○○●●●●●● ・・・ s5 ○○○○○●●●● ・・・ s6 ○○●●●●●●● ・・・ どの列も決定番号の右側に無限に●・・・が続く 決定番号が最大値(6)でない列（s5以外）を選んだ場合 (確率5/6) →選んだ列(s5以外)の6番目の箱を開ける （★ 代
表元と一致するので予測成功） s1 ○●●●●｜★｜●●● ・・・ s2 ○○○○●｜★｜●●● ・・・ s3 ●●●●●｜★｜●●● ・・・ s4 ○○○●●｜★｜●●● ・・・ __ −−−−−＋−＋−−− s5 ○○○○○｜●｜●●● ・・・ __ −−−−−＋−＋−−− s6 ○○●●●｜★｜●●● ・・・ 決定番号が最大値(6)の列（s5）を選んだ場合 (確率1/6) →s5の5番目（s5以外の列の決定番号の最大値）の箱を開ける （☆ 代表元と
不一致なので予測失敗） s1 ○●●●｜●｜●●●● ・・・ s2 ○○○○｜●｜●●●● ・・・ s3 ●●●●｜●｜●●●● ・・・ s4 ○○○●｜●｜●●●● ・・・ __ −−−−＋−＋−−−− s5 ○○○○｜☆｜●●●● ・・・ __ −−−−＋−＋−−−− s6 ○○●●｜●｜●●●●・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/220
221: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:07:41.12 ID:VnwS7U3w >>219 開けるのは ・S_k以外の列の全箱 ・S_kの番号Maxより先の全箱 MaxはS_k以外の列の決定番号の最大値 S_kの代表列をとるのに、 S_kの番号Maxより先の全箱の情報が必要 S_kの決定番号がMaxより大きい確率が1/100 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/221
222: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:10:14.27 ID:BjC0xyI+ >>220 1つ開けるごとにそこの決定番号が決まるので あいや1つ開けてその決定番号が決まったらその時点でかな あらかじめ選んでいた数列の決定番号がそれより大きくなる確率は0になりそうだけどな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/222
223: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:11:07.10 ID:BjC0xyI+ >>222 >決定番号がそれより大きくなる 逆でした 小さくなる確率は0になっちゃうでしょ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/223
224: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:14:55.93 ID:VnwS7U3w >>222 ＞1つ開けるごとにそこの決定番号が決まるので 1つ？「1列分」でしょ ＞あらかじめ選んでいた数列の決定番号が ＞それより大きくなる確率は0になりそうだけどな 根拠は？ないなら無意味だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/224
225: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:17:28.51 ID:VnwS7U3w >>223 ＞あらかじめ選んでいた数列の決定番号が ＞それより小さくなる確率は0になっちゃうでしょ 根拠は？ないなら無意味だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/225
226: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:19:40.55 ID:VnwS7U3w >>222-223の主張は、100人がそれぞれ異なる列を選んだ場合、破たんする どの人も自分が最大になる確率が１だというが、 実際にはその中の高々一人だけが最大値の列を選ぶ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/226
227: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:24:06.48 ID:BjC0xyI+ 根拠も何もS^kの決定番号って自然数総てあり得るからですよ それが特定の値（以下）になる確率は0じゃないかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/227
228: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:25:58.51 ID:BjC0xyI+ >>226 なんで選んだ100人が「自分が選んだ列が最大である確率は1」と主張しなくちゃ行けないの？ それはともかく まだどれも開けてないときはどれも1/100でしょうね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/228
229: １３２人目の素数さん [] 2017/08/13(日) 16:28:19.49 ID:BjC0xyI+ 1個だけ開けたときそれが最大である確率は1と言わざるを得ないかなあ 確率というものの嫌らしいところね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/229
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