[過去ログ] Interーuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002レス)
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418(2): 2021/02/13(土)18:17 ID:wXktx3pj(9/18) AAS
>>375 より
>エタール基本群 Etale fundamental group
>(参考)
>外部リンク:en.wikipedia.org
>Etale fundamental group
(引用開始)
(原文)
Formal definition
Let X be a connected and locally noetherian scheme, let x be a geometric point of X, and let C be the category of pairs (Y,f) such that f: Y→ X is a finite etale morphism from a scheme Y. Morphisms (Y,f)→ (Y',f') in this category are morphisms Y→ Y' as schemes over X. This category has a natural functor to the category of sets, namely the functor
F(Y)= Hom _X(x,Y);
省10
419(2): 2021/02/13(土)18:18 ID:wXktx3pj(10/18) AAS
>>418
つづき
(原文)
Examples and theorems
The most basic example of a fundamental group is π1(Spec k), the fundamental group of a field k. Essentially by definition, the fundamental group of k can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group Gal (ksep / k). More precisely, the choice of a geometric point of Spec (k) is equivalent to giving a separably closed extension field K, and the fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group Gal (K / k). This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory.
More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups
1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
(DeepL訳の手直し)
例と定理
基本群の最も基本的な例は、体kの基本群であるπ1(Spec k)です。定義の本質は、kの基本群は絶対ガロア群Gal(ksep / k)に同型であることが示されます。より正確には、Spec(k)の幾何学的な点の選択は、分離的で閉拡大体Kを与えることと等価であり、その基点に関する基本群は、Gal(K / k)のGalois群と同型である。このガロア群の解釈は、グロテンディエックのガロア理論として知られている。
省5
420: 2021/02/13(土)18:21 ID:4eb0VVkt(17/19) AAS
>>419
正規部分群 理解した?w
421: 2021/02/13(土)18:25 ID:4eb0VVkt(18/19) AAS
>>418
エタール束 理解した?
外部リンク:ja.wikipedia.org
「局所同相写像 E → X は X 上のエタール束とよばれる。」
422: 2021/02/13(土)18:28 ID:4eb0VVkt(19/19) AAS
証明どころか定義も読まずに憶測する人には数学は無理
日本自慢がしたいなら、縄文人自慢でもしときなよ
縄文人、日本独自だからw
423(1): 2021/02/13(土)18:34 ID:wXktx3pj(11/18) AAS
(>>377より再録)
外部リンク:ja.wikipedia.org
遠アーベル幾何学
遠アーベル幾何学(えんアーベルきかがく、Anabelian geometry)は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群(英語版)(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。
曲線上のグロタンディークの予想の定式化
「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。
「 多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群(英語版)(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか?[2] 」
具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K (その上の素体)上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
2 - 2g - n < 0
とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する(つまり G の同型類が C の同型類を決定する)と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0(射影直線)で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。(ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。)[4] K が局所体の場合の結果もある[5]。
省13
424(2): 2021/02/13(土)19:25 ID:wXktx3pj(12/18) AAS
>>423
補足
”Etale fundamental group”で、下記の場合分け大事だね
外部リンク:en.wikipedia.org
Etale fundamental group
Examples and theorems
Schemes over a field of characteristic zero(標数0)
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group(標数正で”tame”)
For an algebraically closed field k of positive characteristic, the results are different, since Artin?Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line {\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}{\mathbf A}_{k}^{1} is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of U which takes into account only covers that are tamely ramified along D, where X is some compactification and D is the complement of U in X.[3][4] For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.
省1
425(1): 2021/02/13(土)19:26 ID:wXktx3pj(13/18) AAS
>>424
つづき
Affine schemes over a field of characteristic p (標数pで”Affine schemes”)
It turns out that every affine scheme {\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}{\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}} is a {\displaystyle K(\pi ,1)}K(\pi ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of {\displaystyle X}X is entirely determined by its etale homotopy group.[5] Note {\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}{\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})} where {\displaystyle {\overline {x}}}{\overline {x}} is a geometric point.
Further topics(”From a category-theoretic point of view”)
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions). Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[6]
Friedlander (1982) studies higher etale homotopy groups by means of the etale homotopy type of a scheme.
(引用終り)
省1
426(2): 2021/02/13(土)21:41 ID:wXktx3pj(14/18) AAS
>>424-425
機械翻訳
外部リンク:en.wikipedia.org
Etale fundamental group
Examples and theorems
Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
省8
427: 2021/02/13(土)21:42 ID:wXktx3pj(15/18) AAS
>>426
つづき
Affine schemes over a field of characteristic p
It turns out that every affine scheme X⊂ {A} _{k}^{n} is a K(π ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of X is entirely determined by its etale homotopy group.[5]
Note π =π_{1}^et(X,  ̄x) where  ̄x is a geometric point.
標数pの体上のアフィンスキーム
Xのetaleホモトピー型がそのetaleホモトピー群によって完全に決定されるという意味で、すべてのアフィンスキームX⊂{A} _ {k} ^ {n}はK(π、1)空間であることがわかります。 [5]
π=π_{1} ^ et(X、 ̄x)に注意してください。ここで、 ̄xは幾何学的な点です。
Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
省10
428: 2021/02/13(土)21:52 ID:wXktx3pj(16/18) AAS
>>426 補足
(引用開始)
Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
標数ゼロの場の上のスキーム
(Google訳(以下同じ))
複素数であるC上で有限型のスキームXの場合、エタール基本群Xと、Xに付加された複素解析空間であるX(C)の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります。 この場合に一般的に呼ばれる代数的基本群は、π1(X)の有限型の完了です。 これは、リーマン存在定理の結果であり、X(C)のすべての有限エタール射影はXのものに由来するというものです。特に、C上の滑らかな曲線の基本群(つまり、開いたリーマン面)はよく理解されています。 ; これは代数的基本群を決定します。 より一般的には、標数的閉体の拡張が同型の基本群を誘発するため、標数的閉体の任意の代数的閉体に対する適切なスキームの基本群が知られています。
(引用終り)
標数ゼロの場合は、Etale fundamental group と、
「Xに付加された複素解析空間であるX(C)の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります」
省1
429(1): 2021/02/13(土)23:14 ID:wXktx3pj(17/18) AAS
エタール基本群つながり、再録
(>>323 再録)
外部リンク[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。
省20
430(1): 2021/02/13(土)23:15 ID:wXktx3pj(18/18) AAS
>>429
つづき
(>>336 再録)
外部リンク:www.jstage.jst.go.jp
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/p.113-129(1997年12月1日提出)
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想(論説)
中村博昭,玉川安騎男,望月新一
§1.数論的基本群一代数幾何と群論の架け橋一
§1.1.エタール基本群
通常の「位相幾何的な基本群」は,よく知られているように,図形の連続変形で不変な,いわゆ
省9
431: 2021/02/14(日)00:05 ID:RsefdZWA(1/88) AAS
写経とは、仏教において経典を書写すること、
またはその書写された経典のことを指す。
432: 2021/02/14(日)00:05 ID:RsefdZWA(2/88) AAS
写経は、印刷技術が発展していなかった時代には仏法を広めるためにされていた。
433: 2021/02/14(日)00:06 ID:RsefdZWA(3/88) AAS
また、複数の僧侶が修行・講義・研究するために写経をすることは必要なことであった。
434: 2021/02/14(日)00:06 ID:RsefdZWA(4/88) AAS
その後 、写経することに功徳があると言われるようになった。
435: 2021/02/14(日)00:07 ID:RsefdZWA(5/88) AAS
中国では、六朝時代に写経が定型化され、
隋・唐のころに盛んに写経が行われるようになった。
436: 2021/02/14(日)00:07 ID:RsefdZWA(6/88) AAS
日本では673年(天武天皇2年)に川原寺で
一切経の写経が行われたのを創始としている。
437: 2021/02/14(日)00:08 ID:RsefdZWA(7/88) AAS
そして、奈良時代の天平年間は聖武天皇が仏教を尊信し、
その弘通を図ったため、仏教は空前の隆盛を来たした。
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