[過去ﾛｸﾞ] Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
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917(1): 2021/02/20(土)08:06 ID:c8yOLip1(6/65) AAS
>>916
「代数幾何学では、代数多様体などの対象は、
「社会的振る舞い」という点では、代数と似ている。
彼らはアーベル圏を構成しない。
したがって、もしホモロジー代数を用いたいのなら、
加群の圏に相当するものを探さなくてはならない。
これが代数多様体上の「連接層」の圏である。」
「これらの層が何であり、
どのようにして「線型化」の概念から
自然に現れるのかを見てみよう。
滑らかな代数多様体Xを考えると、
これは非常に曲がった座標系を持つ空間であるが、
それをある滑らかな部分多様体Yの近傍で考えると、
この代数多様体はその線形化である「法束」によって
うまく近似される。
次に、代数多様体は滑らかではないが、
部分代数多様体は滑らかであるとすると、
この近似は
「あるファイバーで次元の跳躍が起こるベクトル束」
のようなものになる。
これが「連接層」として定式化される。
例として二次の円錐XとXの中心点xを通るX上の直線Y
を考えよう。Yの各点における法束のファイバーは、
ファイバーが2次元平面になる中心点を除いて、
直線になる。」
「この連接層のファイバーの次元の跳躍は、
常にYの部分代数多様体上で起こる。
これをY1とすると、さらに次元の高い跳躍が
Y1の部分代数多様体上で起こるかもしれないし、
さらに同様のことが次々と起こるかもしれない。」
「連接層の方が、ベクトル束よりも、
ある意味取り組みやすいというのは驚きかもしれない。」
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