[過去ﾛｸﾞ] Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
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393(8): 2021/02/13(土)00:04 ID:wXktx3pj(1/18) AAS
>>388 補足
>2 - 2g - n < 0
>これ、>>333 伊原先生の
>「ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
>るとき2gー2+n>0が満されることです.」
>と同じだね
下記の作間 誠 (広島大学)氏「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」に説明があるね
オイラー標数が&χ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 ってことね
なるほど、ここにタイヒミュラー空間が出てくるのか！
（参考）
省29
394(2): 2021/02/13(土)00:05 ID:wXktx3pj(2/18) AAS
>>393
つづき
2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間
種数g の有向曲面Σg からn個の点を除いて得られる曲面をΣg,n で表す。任意の有限
面積有向双曲曲面は，オイラー標数が&χ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 を満たすΣg,n に同相
である。更に，それぞれの穴はカスプ{z ∈ H2 ｜ Ι(z) ≧ c}=(z 〜 z + 1) （c > 0 は定
数）と等長的な近傍を持つ。
最も簡単な(g, n) = (0, 3) の場合，Σ0,3 上の双曲構造は理想測地三角形（即ち，∂H2
でのみ交わる３本の測地線で囲まれる領域）２つのコピーをその境界で貼り合わせて
得られる。理想測地三角形のかわりに，∂H2 でも共通部分を持たない３本の測地線に
省20
395(2): 2021/02/13(土)00:05 ID:wXktx3pj(3/18) AAS
>>394
つづき
定理2.1 (フェンチェル・ニールセン座標)
Teich(Σg,n)=〜R+ ^3g-3+n x R^3g-3+n =〜R^6g-6+2n
古典的一意化定理により， Teich(Σ) はΣ 上の共形構造全体が作る空間でもあるこ
とを注意する。
Σの双曲構造は上で述べた自由度を持つが，その面積はガウス・ボンネの定理によ
り，2π|χ&(Σ)|であり，そのため有限面積双曲曲面の面積全体が作るR+ の部分集合V2
は2πNに一致することを注意する。もっと一般に，自然数n ≧ 2 に対して，有限体積
双曲n次元多様体の体積全体が作るR+ の部分集合をVn とすると，n = 3 の場合を除
省3
399(1): 2021/02/13(土)10:01 ID:wXktx3pj(4/18) AAS
>>390-392
おじさんさ、
あんた証明抜きで語っていえるよね
それが、数学じゃん
コテコテした証明はあっても良いが、無くてもいい
作間 誠 (広島大学)氏>>393「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」も
コテコテした証明なしで語っているよね
まず、それだよ
コテコテした証明はあっても良いが、無くてもいいんだよ
401(3): 2021/02/13(土)10:23 ID:wXktx3pj(5/18) AAS
>>395
>定理2.1 (フェンチェル・ニールセン座標)
これ、タイヒミュラーでは重要みたい（下記など）
（参考）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
河澄響矢 東大
20 年度前期「幾何学 IV/幾何 III/幾何学特論」（青山学院大学理工学部）関係ファイル
”東京大学理学部の学部生の教育に有益である（と信ずる）”
講義概要:
非ユークリッド幾何学の代表的なモデルである２次元双曲幾何学とその発展を解説する。 講義では、まず、双曲平面を導入し、フックス群とリーマン面の関係を学習する。 その後、フックス群をすべて無駄なく集めた空間であるタイヒミュラー空間を定義する。 この講義での中心はタイヒミュラー空間の接空間である。 とくに接空間にヴェイユ-ピーターソン-ケーラー形式を導入し、 その位相的な抽出物であるゴールドマン括弧積を議論する。
省24
402(1): 2021/02/13(土)10:26 ID:wXktx3pj(6/18) AAS
>>400
心配するな
おれなんか、人のうちには入らない
望月には、G（GOD）くんに
スター（星）もいる
なんの心配もない
そもそも、こんな場末の5ｃｈの議論と、本来のIUT数学の議論とを混同している時点で、アウトでしょ
403(1): 2021/02/13(土)10:48 ID:wXktx3pj(7/18) AAS
>>401
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
低次元トポロジー
目次
1 歴史
2 二次元
2.1 曲面の分類
2.2 タイヒミューラー空間
2.3 一意化定理
省7
407(1): 2021/02/13(土)15:14 ID:wXktx3pj(8/18) AAS
>>393
・a+b=c を使って、楕円曲線を作ると、スピロ予想が出る
・楕円曲線にピンホールを開けると、
・オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 となって、
・伊原先生などによれば、双曲構造が入る
・そこから、タイヒミュラーが出る。遠アーベルもかな？
418(2): 2021/02/13(土)18:17 ID:wXktx3pj(9/18) AAS
>>375 より
>エタール基本群 Etale fundamental group
>(参考)
>外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>Etale fundamental group
(引用開始)
（原文）
Formal definition
Let X be a connected and locally noetherian scheme, let x be a geometric point of X, and let C be the category of pairs (Y,f) such that f： Y→ X is a finite etale morphism from a scheme Y. Morphisms (Y,f)→ (Y',f') in this category are morphisms Y→ Y' as schemes over X. This category has a natural functor to the category of sets, namely the functor
F(Y)= Hom _X(x,Y);
省10
419(2): 2021/02/13(土)18:18 ID:wXktx3pj(10/18) AAS
>>418
つづき
（原文）
Examples and theorems
The most basic example of a fundamental group is π1(Spec k), the fundamental group of a field k. Essentially by definition, the fundamental group of k can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group Gal (ksep / k). More precisely, the choice of a geometric point of Spec (k) is equivalent to giving a separably closed extension field K, and the fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group Gal (K / k). This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory.
More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups
1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
（DeepL訳の手直し）
例と定理
基本群の最も基本的な例は、体kの基本群であるπ1(Spec k)です。定義の本質は、kの基本群は絶対ガロア群Gal(ksep / k)に同型であることが示されます。より正確には、Spec(k)の幾何学的な点の選択は、分離的で閉拡大体Kを与えることと等価であり、その基点に関する基本群は、Gal(K / k)のGalois群と同型である。このガロア群の解釈は、グロテンディエックのガロア理論として知られている。
省5
423(1): 2021/02/13(土)18:34 ID:wXktx3pj(11/18) AAS
（>>377より再録）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
遠アーベル幾何学
遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群（英語版）(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。
曲線上のグロタンディークの予想の定式化
「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。
「 多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
2 - 2g - n < 0
とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。（ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。）[4] K が局所体の場合の結果もある[5]。
省13
424(2): 2021/02/13(土)19:25 ID:wXktx3pj(12/18) AAS
>>423
補足
”Etale fundamental group”で、下記の場合分け大事だね
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Etale fundamental group
Examples and theorems
Schemes over a field of characteristic zero（標数0）
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group（標数正で”tame”）
For an algebraically closed field k of positive characteristic, the results are different, since Artin?Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line {\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}{\mathbf A}_{k}^{1} is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of U which takes into account only covers that are tamely ramified along D, where X is some compactification and D is the complement of U in X.[3][4] For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.
省1
425(1): 2021/02/13(土)19:26 ID:wXktx3pj(13/18) AAS
>>424
つづき
Affine schemes over a field of characteristic p （標数ｐで”Affine schemes”）
It turns out that every affine scheme {\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}{\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}} is a {\displaystyle K(\pi ,1)}K(\pi ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of {\displaystyle X}X is entirely determined by its etale homotopy group.[5] Note {\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}{\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})} where {\displaystyle {\overline {x}}}{\overline {x}} is a geometric point.
Further topics（”From a category-theoretic point of view”）
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions). Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[6]
Friedlander (1982) studies higher etale homotopy groups by means of the etale homotopy type of a scheme.
(引用終り)
省1
426(2): 2021/02/13(土)21:41 ID:wXktx3pj(14/18) AAS
>>424-425
機械翻訳
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Etale fundamental group
Examples and theorems
Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
省8
427: 2021/02/13(土)21:42 ID:wXktx3pj(15/18) AAS
>>426
つづき
Affine schemes over a field of characteristic p
It turns out that every affine scheme X⊂ {A} _{k}^{n} is a K(π ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of X is entirely determined by its etale homotopy group.[5]
Note π =π_{1}^et(X, ￣x) where ￣x is a geometric point.
標数pの体上のアフィンスキーム
Xのetaleホモトピー型がそのetaleホモトピー群によって完全に決定されるという意味で、すべてのアフィンスキームX⊂{A} _ {k} ^ {n}はK（π、1）空間であることがわかります。 [5]
π=π_{1} ^ et（X、￣x）に注意してください。ここで、￣xは幾何学的な点です。
Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
省10
428: 2021/02/13(土)21:52 ID:wXktx3pj(16/18) AAS
>>426 補足
(引用開始)
Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
標数ゼロの場の上のスキーム
（Google訳（以下同じ））
複素数であるC上で有限型のスキームXの場合、エタール基本群Xと、Xに付加された複素解析空間であるX（C）の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります。 この場合に一般的に呼ばれる代数的基本群は、π1（X）の有限型の完了です。 これは、リーマン存在定理の結果であり、X（C）のすべての有限エタール射影はXのものに由来するというものです。特に、C上の滑らかな曲線の基本群（つまり、開いたリーマン面）はよく理解されています。 ; これは代数的基本群を決定します。 より一般的には、標数的閉体の拡張が同型の基本群を誘発するため、標数的閉体の任意の代数的閉体に対する適切なスキームの基本群が知られています。
(引用終り)
標数ゼロの場合は、Etale fundamental group と、
「Xに付加された複素解析空間であるX（C）の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります」
省1
429(1): 2021/02/13(土)23:14 ID:wXktx3pj(17/18) AAS
エタール基本群つながり、再録
(>>323 再録)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。
省20
430(1): 2021/02/13(土)23:15 ID:wXktx3pj(18/18) AAS
>>429
つづき
(>>336 再録)
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/p.113-129(1997年12月1日提出)
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想（論説）
中村博昭,玉川安騎男,望月新一
§1.数論的基本群一代数幾何と群論の架け橋一
§1.1.エタール基本群
通常の「位相幾何的な基本群」は,よく知られているように,図形の連続変形で不変な,いわゆ
省9
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ぬこの手 ぬこTOP 1.973s*