Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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393: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 00:04:22 ID:wXktx3pj

>>388 補足
>2 - 2g - n < 0
>これ、>>333 伊原先生の
>「ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
>るとき2gー2+n>0が満されることです.」
>と同じだね

下記の作間　誠 (広島大学)氏「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」に説明があるね
オイラー標数が&χ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 ってことね
なるほど、ここにタイヒミュラー空間が出てくるのか！
（参考）
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/
第63回トポロジーシンポジウム 2016年7月
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/071-Sakuma.pdf
講演スライド
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/070-Sakuma.pdf
企画講演 アブストラクト
結び目と３次元多様体
〜　幾何構造とファイバー構造を中心として　〜
作間　誠 (広島大学)
(抜粋)
1. はじめに
種数 g の有向閉曲面を考えると，g = 0 の時は球面，g = 1 の時はトーラス R2/Z2 で
あり，それぞれ自然に球面構造とユークリッド構造を持つことは誰の目にも明らかで
ある。双曲幾何の初歩を勉強すると，種数 g ≧ 2 なら双曲構造を持つこともすぐに理
解できる。そうすると一歩進めて，３次元多様体でも同じようなことが成り立つので
はないかと考えるのは（今となっては）極めて自然なことであり，きっとそのような
発想をした人も過去にいたのではないかと想像できる。
また，1977 年という（Thurston がプリンストン大学で講
義を開始した1978 年直前の）絶妙のタイミングで御著書「非ユークリッド幾何の世界」
をブルーバックスより出版された日本の結び目理論の創始者・寺阪英孝先生も，その
ようなことを考えられたことがあるかも，と想像することがある。
Thurston は３次元多様体のトポロジーと幾何の相性が格段に良いことに気づき，沢
山の研究者を巻き込みながら，全く新しい視点から３次元トポロジーの研究を行い，結
び目理論を含む低次元トポロジーの世界を一変させた。
Riley による双曲構造の発見とThurston によるハーケン多様体の双曲化定理において，ファイバー結び目は特別な
役割を果たしている。
本論説では，曲面束の構造と幾何構造との関係を中心に，現在までに明らかにされ
たことの解説を試みた。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/393

394: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 00:05:00 ID:wXktx3pj

>>393
つづき

2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間
種数g の有向曲面Σg からn個の点を除いて得られる曲面をΣg,n で表す。任意の有限
面積有向双曲曲面は，オイラー標数が&χ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 を満たすΣg,n に同相
である。更に，それぞれの穴はカスプ{z ∈ H2 ｜ Ι(z) ≧ c}=(z 〜 z + 1) （c > 0 は定
数）と等長的な近傍を持つ。
最も簡単な(g, n) = (0, 3) の場合，Σ0,3 上の双曲構造は理想測地三角形（即ち，∂H2
でのみ交わる３本の測地線で囲まれる領域）２つのコピーをその境界で貼り合わせて
得られる。理想測地三角形のかわりに，∂H2 でも共通部分を持たない３本の測地線に
より囲まれる開いた３角形領域の２つのコピーをその境界で貼り合わせると，球面か
ら互いに交わらない３つの円板を除いて得られる開多様体に同相な無限面積双曲曲面
P = H2/Γ を得る。このとき極限集合Λ(Γ) はカントール集合，クライン多様体はP
に３つの円周を付け加えて得られるコンパクト曲面，凸核P0 := C(P) は３本の単純
閉測地線で囲まれるP のコンパクト部分曲面である。ここでP0 は球面から互いに交
わらない３つの円板の内部を除いて得られるパンツに同相である。双曲的パンツP0 の
等長型は境界の長さが作る３つの実数の組で決まり，しかもこの３つ組はR3+ の任意
の値を取り得ることがわかる。もし境界の長さが0 に退化して，カスプを形成する場
合を込めると，そのような双曲曲面全体はR3≧0 でパラメータ付け出来る。
一般の曲面Σ = Σg,n の双曲構造を記述するには，Σ を3g -3+n本の本質的単純閉
曲線（Σ 内の円板または穴あき円板を切り取らない単純閉曲線）で切り開いて|χ&(Σ)|
個のパンツに分解すればよい。Σ の双曲構造が与えられると，これらの単純閉曲線は
互いに交わらない単純閉測地線にイソトピックであり，それらは双曲曲面を|χ&(Σ)| 個
の双曲的パンツに分解する。各双曲的パンツの等長型は3g - 3 + n 本の単純閉測地線
の長さで決まる。またこれらの単純閉測地線それぞれにおいて，双曲的パンツの貼り
合わせの自由度がR 分だけある。従って，Σ の双曲構造はR+ ^3g-3+n x  R ^3g-3+n に値を
持つパラメータにより完全に記述できる。しかも，逆に任意のパラメータを実現する
Σ の双曲構造が存在することも，前文節より明らかである。以上により，Σ 上の双曲
構造全体が作るタイヒミュラー空間Teich(Σ) は次のように記述される。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/394

401: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 10:23:06 ID:wXktx3pj

>>395
>定理2.1 (フェンチェル・ニールセン座標)

これ、タイヒミュラーでは重要みたい（下記など）

（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S.html
河澄響矢 東大
20 年度前期「幾何学 IV/幾何 III/幾何学特論」（青山学院大学理工学部）関係ファイル
”東京大学理学部の学部生の教育に有益である（と信ずる）”

講義概要:
非ユークリッド幾何学の代表的なモデルである２次元双曲幾何学とその発展を解説する。 講義では、まず、双曲平面を導入し、フックス群とリーマン面の関係を学習する。 その後、フックス群をすべて無駄なく集めた空間であるタイヒミュラー空間を定義する。 この講義での中心はタイヒミュラー空間の接空間である。 とくに接空間にヴェイユ-ピーターソン-ケーラー形式を導入し、 その位相的な抽出物であるゴールドマン括弧積を議論する。
達成目標:
２次元という親しみやすい対象の上での具体的な考察を通して、幾何学のさまざまな対象に慣れ親しむことを目標とする

＜授業手書きノート pdf:＞
第1回: 一次分数変換の復習。
第2回: 測地線とメビウス変換。
第3回: 双曲距離と面積。
第4回: リーマン面。
第5回: 閉リーマン面のフックス群。
第6回: リーマン・モジュライ空間。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S06.pdf
第7回: タイヒミュラー空間とフリッケ座標。
第8回: パンツ分解と双曲パンツ。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S08.pdf
第9回: フェンチェル-ニールセン座標（その１）。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S09.pdf
第10回: フェンチェル-ニールセン座標（その２）。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S10.pdf
第11回: フックス群の無限小変形。
第12回: タイヒミュラー空間の接空間。
第13回: ヴェイユ-ピーターソン-計量。
第14回: ヴェイユ-ピーターソン-ケーラー形式。

Goldman bracket について何も解説できませんでしたが、
まずは Goldman の原論文
W. M. Goldman
Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian flows
of surface group representations,
Invent. math., 85 (1986) 263--302,
をご覧ください。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/401

403: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 10:48:36 ID:wXktx3pj

>>401

追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8E%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
低次元トポロジー

目次
1 歴史
2 二次元
2.1 曲面の分類
2.2 タイヒミューラー空間
2.3 一意化定理

歴史
1960年代に始まった多くの位相幾何学の発展は、位相幾何学が低次元で重要であることを示した。1961年のスティーヴン・スメイルによる高次元でのポアンカレ予想の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は手術理論（英語版）を計算機的な方法で（低次元へ）還元することができることを意味した。後日、1970年代にウィリアム・サーストンにより定式化された幾何化予想では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンのハーケン多様体についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年のグレゴリー・ペレルマンは、リチャード・S・ハミルトンのリッチフローという幾何解析（英語版）分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。

すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。

タイヒミューラー空間
詳細は「タイヒミューラー空間（英語版） 」を参照
数学において、（実）位相空間 X のタイヒミューラー空間 TX は、恒等写像と同位（英語版）な同相写像の作用を除いて X 上の複素構造をパラメータ付ける空間である。TX 上の各点は、「印」をつけたリーマン面の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは X から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の普遍被覆軌道体（英語版）である。

タイヒミューラー空間は、標準的な複素多様体の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は Oswald Teichmuller (1940) で導入された[1]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/403

418: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:17:59 ID:wXktx3pj

>>375 より
>エタール基本群 Etale fundamental group
>(参考)
>https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale_fundamental_group
>Etale fundamental group

(引用開始)
（原文）
Formal definition
Let X be a connected and locally noetherian scheme, let x be a geometric point of X, and let C be the category of pairs (Y,f) such that f： Y→ X is a finite etale morphism from a scheme Y. Morphisms (Y,f)→ (Y',f') in this category are morphisms Y→ Y' as schemes over X. This category has a natural functor to the category of sets, namely the functor
F(Y)= Hom _X(x,Y);
geometrically this is the fiber of Y→ X over x, and abstractly it is the Yoneda functor represented by x in the category of schemes over X.

（DeepL訳の手直し）
形式的な定義
Xを連結された局所的ネター的スキームとし、xをXの幾何学的点とし、f： Y→XがスキームYからの有限エタール写像であるようなペア(Y,f)のカテゴリをCとします。
このカテゴリの写像(Y,f)→(Y',f')は、X上のスキームとしての写像Y→Y'であり、このカテゴリは、集合のカテゴリに対する自然なファンクタ、すなわち
F(Y)= Hom _X(x,Y).
幾何学的にはこれはx上のY→Xのファイバーであり、抽象的にはX上のスキームのカテゴリでxで表される米田関手である。
(引用終り)

エタール基本群 Etale fundamental group から、”category”ご登場！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/418

419: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:18:54 ID:wXktx3pj

>>418
つづき

（原文）
Examples and theorems
The most basic example of a fundamental group is π1(Spec k), the fundamental group of a field k. Essentially by definition, the fundamental group of k can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group Gal (ksep / k). More precisely, the choice of a geometric point of Spec (k) is equivalent to giving a separably closed extension field K, and the fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group Gal (K / k). This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory.

More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups

1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.

（DeepL訳の手直し）
例と定理
基本群の最も基本的な例は、体kの基本群であるπ1(Spec k)です。定義の本質は、kの基本群は絶対ガロア群Gal(ksep / k)に同型であることが示されます。より正確には、Spec(k)の幾何学的な点の選択は、分離的で閉拡大体Kを与えることと等価であり、その基点に関する基本群は、Gal(K / k)のGalois群と同型である。このガロア群の解釈は、グロテンディエックのガロア理論として知られている。

より一般的には、体k上の任意の幾何学的に連結された多様体X（すなわち、Xsep := X ×k ksepで連結されているようなX）に対して、次のような副有限群の完全列が存在する。
1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
(引用終り)

グロテンディエックのガロア理論のご登場！
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/419

423: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:34:27 ID:wXktx3pj

（>>377より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A0%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群（英語版）(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。
曲線上のグロタンディークの予想の定式化
「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。
「　多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
2 - 2g - n < 0
とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。（ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。）[4] K が局所体の場合の結果もある[5]。
(引用終り)

さて
1）「n 個の点の補空間」というのは、下世話に言えば、ｎ個のピンホールが開いている多様体ってことね
2）「2 - 2g - n < 0 」は、作間誠氏>>393 オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 ってことね
3) オイラー標数がχが負なら、多様体に双曲構造を入れられるってこと。この場合が、”遠アーベル幾何学”？

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Anabelian_geometry
Anabelian geometry

More recently, Mochizuki introduced and developed a so called mono-anabelian geometry which restores, for a certain class of hyperbolic curves over number fields, the curve from its algebraic fundamental group. Key results of mono-anabelian geometry were published in Mochizuki's "Topics in Absolute Anabelian Geometry."

See also
・Fiber functor
・Neukirch?Uchida theorem
・Belyi's theorem

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/423

424: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 19:25:51 ID:wXktx3pj

>>423
補足
”Etale fundamental group”で、下記の場合分け大事だね

https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale_fundamental_group
Etale fundamental group

Examples and theorems

Schemes over a field of characteristic zero（標数0）
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.

Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group（標数正で”tame”）
For an algebraically closed field k of positive characteristic, the results are different, since Artin?Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line {\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}{\mathbf  A}_{k}^{1} is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of U which takes into account only covers that are tamely ramified along D, where X is some compactification and D is the complement of U in X.[3][4] For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/424

425: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 19:26:19 ID:wXktx3pj

>>424
つづき

Affine schemes over a field of characteristic p （標数ｐで”Affine schemes”）
It turns out that every affine scheme {\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}{\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}} is a {\displaystyle K(\pi ,1)}K(\pi ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of {\displaystyle X}X is entirely determined by its etale homotopy group.[5] Note {\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}{\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})} where {\displaystyle {\overline {x}}}{\overline {x}} is a geometric point.

Further topics（”From a category-theoretic point of view”）
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions). Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[6]
Friedlander (1982) studies higher etale homotopy groups by means of the etale homotopy type of a scheme.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/425

426: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 21:41:40 ID:wXktx3pj

>>424-425

機械翻訳

https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale_fundamental_group
Etale fundamental group

Examples and theorems

Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.

標数ゼロの場の上のスキーム
（Google訳（以下同じ））
複素数であるC上で有限型のスキームXの場合、エタール基本群Xと、Xに付加された複素解析空間であるX（C）の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります。 この場合に一般的に呼ばれる代数的基本群は、π1（X）の有限型の完了です。 これは、リーマン存在定理の結果であり、X（C）のすべての有限エタール射影はXのものに由来するというものです。特に、C上の滑らかな曲線の基本群（つまり、開いたリーマン面）はよく理解されています。 ; これは代数的基本群を決定します。 より一般的には、標数的閉体の拡張が同型の基本群を誘発するため、標数的閉体の任意の代数的閉体に対する適切なスキームの基本群が知られています。

Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group
For an algebraically closed field k of positive characteristic, the results are different, since Artin-Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line  {A} _{k}^{1} is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of U which takes into account only covers that are tamely ramified along D, where X is some compactification and D is the complement of U in X.[3][4] For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.

正の特性と飼いならされた基本群の分野にわたるスキーム
正の標数の代数的閉体kの場合、Artin-Schreier被覆がこの状況に存在するため、結果は異なります。 たとえば、アフィン線{A} _ {k} ^ {1}の基本群はトポロジー的に有限生成されません。 あるスキームUの飼いならされた基本群は、Dに沿って飼いならされた分岐のみを考慮したUの通常の基本群の商です。ここで、Xはコンパクト化であり、DはXのUの補数です。[3] [ 4] たとえば、アフィン線の飼いならされた基本群はゼロです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/426

427: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 21:42:15 ID:wXktx3pj

>>426
つづき

Affine schemes over a field of characteristic p
It turns out that every affine scheme  X⊂ {A} _{k}^{n} is a  K(π ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of X is entirely determined by its etale homotopy group.[5]
Note π =π_{1}^et(X, ￣x) where ￣x is a geometric point.

標数pの体上のアフィンスキーム
Xのetaleホモトピー型がそのetaleホモトピー群によって完全に決定されるという意味で、すべてのアフィンスキームX⊂{A} _ {k} ^ {n}はK（π、1）空間であることがわかります。 [5]
π=π_{1} ^ et（X、￣x）に注意してください。ここで、￣xは幾何学的な点です。

Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions). Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[6]
Friedlander (1982) studies higher etale homotopy groups by means of the etale homotopy type of a scheme.

その他のトピック
圏論の観点から、基本群は関手です
{尖った代数多様体}→{射有限群}。
逆ガロア問題は、どの群が基本群（または体拡大のガロア群）として発生する可能性があるかを尋ねます。 遠アーベル幾何学、例えばグロタンディークのセクション推測は、それらの基本群によって決定される品種のクラスを特定しようとしています。[6]
フリードランダー（1982）は、エタールホモトピー型のスキームを用いて、より高いエタールホモトピー群を研究しています。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/427

428: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 21:52:33 ID:wXktx3pj

>>426 補足
(引用開始)
Schemes over a field of characteristic zero
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.

標数ゼロの場合は、Etale fundamental group と、
「Xに付加された複素解析空間であるX（C）の通常の位相幾何学的基本群との間には密接な関係があります」
だって。ここらがポイントだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/428

429: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 23:14:04 ID:wXktx3pj

エタール基本群つながり、再録
(>>323 再録)
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。

(>>333 再録)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/書誌
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想の解決
中村博昭,玉川安騎男,望月新一氏の研究に寄せて
伊原康隆
＜PDF＞
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_pdf/-char/ja
　今回解決されたGrothendieck予想は,「代数体k上定義された滑らかな双曲型代数曲線Xは
X=XO　kの代数的(エタール)基本群π1(X)へのkの絶対ガロア群Ga1(k/k)の外作用によっ
て一意的に定まる」というものです。ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n > 0が満されることです.三人の方々は,それぞれ相異なる手法によってこの問
題の解決に向け独自の貢献をされました.しかし共通な点は,Grothendieckが「遠アーベル」と
呼んで超困難視したこの問題が,`実はπ1(X)の各開部分群のアーベル化に今まで発展してきた
「アーベル的な数学」を組織的に適用することによって解けてしまうことを(それぞれの方法で)実
証した点にある,と思います。中村氏が最初にこれを見抜いて種数0(従ってn:≧3)の場合を証明
し,玉川氏が有限体上の曲線の類体論(アーベル被覆の理論)を組織的に用いて一般のn>0の場
合をあざやかに証明して周囲を驚かせ,最後に望月氏がp進体上でも一般に成立することをp進
Hodge理論を(中村,玉川氏と同様に組織的に)用いて見事に証明しました.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/429

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