[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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176: 2021/02/18(木)22:07 ID:IrdJv5En(21/49) AAS
実際、異なる2点x, yを取ると
d = d(x, y) > 0
なので、半系d/2の開球で分離できます。
177: 2021/02/18(木)22:09 ID:IrdJv5En(22/49) AAS
位相空間Xが連結であるとは、互いに交わらない空でない2つの開集合の和で書けないことです。
178: 2021/02/18(木)22:10 ID:IrdJv5En(23/49) AAS
連結な位相空間Xの開集合かつ閉集合である部分集合は
∅, X
だけです。
179: 2021/02/18(木)22:14 ID:IrdJv5En(24/49) AAS
UをXの開集合かつ閉集合とします。
UがX or ∅なら正しいので、Xでも∅でもないとします。
UはXと異なる閉集合なので、F = X＼Uは空ではない開集合です。
よって、
X = U ∪ F
これはXが連結でないことを意味します。
180: 2021/02/18(木)22:15 ID:IrdJv5En(25/49) AAS
開写像というのは、連続性と同じく局所的な性質です。
181: 2021/02/18(木)22:21 ID:IrdJv5En(26/49) AAS
f: X→ Yが開写像
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、 f(U)は開集合
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、∃開集合x∈B⊂U s.t f(B)は開集合
⇒は全部自明
3つ目から1つ目を示す
182: 2021/02/18(木)22:23 ID:IrdJv5En(27/49) AAS
U⊂Xを開集合とする。
f(x)∈f(U)を任意に取る。
開集合Bで
x∈B⊂U、f(B)⊂f(U)が開集合
が存在。
183: 2021/02/18(木)22:25 ID:IrdJv5En(28/49) AAS
コンパクト空間の積空間はコンパクトです。
証明は知りません
184: 2021/02/18(木)22:36 ID:IrdJv5En(29/49) AAS
Xがコンパクト
⇔任意の位相空間Yに対して、X×Y→Yが閉写像
185: 2021/02/18(木)22:37 ID:IrdJv5En(30/49) AAS
これも証明は知りません
186: 2021/02/18(木)22:40 ID:IrdJv5En(31/49) AAS
Xがハウスドルフ
⇔X→X×X、x→(x, x)の像は閉集合
187: 2021/02/18(木)22:48 ID:IrdJv5En(32/49) AAS
Δ: X → X×X
Δ(x) = (x, x)
とする。
(x, y)∈X×X＼Δ(X)を任意に取ると、x≠y。
Xがハウスドルフならば、Xの開集合x∈U、y∈Vで、U∩V = ∅となるものが存在。
(x, y) ∈ U × V ⊂ X×X＼Δ(X)。
省5
188: 2021/02/18(木)22:56 ID:IrdJv5En(33/49) AAS
f: X → Yが連続写像
Yがハウスドルフならば、
Γ: X→X×Y x → (x, f(x))の像は閉集合
f: X → S
g: Y → S
を連続写像
Sがハウスドルフならば、
ker(f, g) = { (x, y)∈X × Y | f(x) = g(y) }
省1
189: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(34/49) AAS
ハウスドルフ性は局所的な性質ではありません。
190: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(35/49) AAS
原点が2重になった直線は、すべての点がハウスドルフな近傍を持ちますが、2つの原点を分離する近傍はありません。
191: 2021/02/18(木)23:21 ID:IrdJv5En(36/49) AAS
R^nの開集合Uは
任意のp∈Uに対して、ある正の数r > 0が存在して
B_r(p) := { x∈R^N | |x - p| < r}
x ∈ B_r(p) ⊂ U
となることです。
192: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(37/49) AAS
距離空間の開集合はみんな同様の定義です
193: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(38/49) AAS
この
B_r(p)
の形の開集合全体は、一般の位相空間では基本近傍系という概念に一般化されます。
194: 2021/02/18(木)23:24 ID:IrdJv5En(39/49) AAS
集合に対し、基本近傍系を定めれば、上の定義と同様にして位相が定まります
195: 2021/02/18(木)23:29 ID:IrdJv5En(40/49) AAS
逆に、位相が与えられると開集合の特徴づけとして
Uが開集合
⇔∀x∈U, ∃開集合V s. t. x∈V⊂U
が成り立ちます。
⇒は、V = U自身と取れば明らかです。
逆を示します。
任意のx∈Uに対して、上を満たすV_xを取ります。
省4
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