[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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194: 2021/02/18(木)23:24 ID:IrdJv5En(39/49) AAS
集合に対し、基本近傍系を定めれば、上の定義と同様にして位相が定まります
195: 2021/02/18(木)23:29 ID:IrdJv5En(40/49) AAS
逆に、位相が与えられると開集合の特徴づけとして
Uが開集合
⇔∀x∈U, ∃開集合V s. t. x∈V⊂U
が成り立ちます。
⇒は、V = U自身と取れば明らかです。
逆を示します。
任意のx∈Uに対して、上を満たすV_xを取ります。
省4
196: 2021/02/18(木)23:32 ID:IrdJv5En(41/49) AAS
任意の2点x, yを結ぶpathが存在する空間は弧状連結であるといいます。
197: 2021/02/18(木)23:34 ID:IrdJv5En(42/49) AAS
Xを位相空間
Xが弧状連結であるとは、任意の2点x, y∈Xに対して、連続写像p: [0, 1]→Xで
p(0) = x
p(1) = y
となるものが存在することを言う。
198: 2021/02/18(木)23:37 ID:IrdJv5En(43/49) AAS
弧状連結ならば連結です。
199: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(44/49) AAS
Xが連結でないとする。
空でない2つの開集合U, Vで
X = U ∪ V
U ∩ V = ∅
と書ける。
x∈U, y∈Vを取る。
もし、x, yを結ぶpath p: [0, 1]→Xが存在したとする。
[0, 1]は連結なので、その像も連結でなければならないが、空でない2つの開集合で
p([0, 1]) =(U∩p([0, 1])) ∪ (V∩p([0, 1]))
(U∩p([0, 1])) ∪(V∩p([0, 1])) = ∅
省1
200: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(45/49) AAS
連結な位相空間の連続写像による像も連結
201: 2021/02/18(木)23:45 ID:IrdJv5En(46/49) AAS
X, Yは位相空間、f: X → Yを連続写像とする。
Xが連結ならば、f(X)も連結である。
202: 2021/02/18(木)23:50 ID:IrdJv5En(47/49) AAS
f(X)が連結でないとする。
空でない開集合U, Vを用いて
f(X) = U ∪ V
U ∩ V = ∅
とできる。このとき、f^(-1)(U), f^(-1)(V)はXの空でない開集合であり、
X = f^(-1)(U) ∪ f^(-1)(V)
f^(-1)(U) ∩ f^(-1)(V) = ∅
となる。
203: 2021/02/18(木)23:51 ID:IrdJv5En(48/49) AAS
連結だが弧状連結ではない例
204: 2021/02/18(木)23:54 ID:IrdJv5En(49/49) AAS
X = { (0, 0) } ∪ { (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }
は連結だが弧状連結ではない。
205: 2021/02/19(金)00:03 ID:LaiOc/Pq(1/18) AAS
{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }は弧状連結なので連結である。
したがって、(0, 0)の任意の近傍が、これと交わることが分かればよい。
なぜなら、もしXが連結でないとすると、(0, 0)を含むXの近傍と、他の空でない開集合とのdisjoint unionで書けることになるが、
それは、{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }が連結であることに矛盾するから。
206: 2021/02/19(金)00:05 ID:LaiOc/Pq(2/18) AAS
計算めんどくさい。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
207: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(3/18) AAS
Rとxyは連結か？
208: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(4/18) AAS
R と { (x, y) | xy = 0 }は同相か？
209: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(5/18) AAS
答え: No
210: 2021/02/19(金)00:10 ID:LaiOc/Pq(6/18) AAS
X = { (x, y) | xy = 0}
とする。同相写像f: X → Rが存在したとすると、これをX＼{(0, 0)}に制限しても同相。
ところが、X＼{(0, 0)}の連結成分の個数は4個で、R＼{f(0, 0)}のそれは2個なので矛盾。
211: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(7/18) AAS
R^2とR^2＼{(0, 0)}は同相か？
212: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(8/18) AAS
答え:No
213: 2021/02/19(金)00:12 ID:LaiOc/Pq(9/18) AAS
R^2は単連結
R^2＼{(0, 0)}は単連結ではない。
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