[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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206: 2021/02/19(金)00:05 ID:LaiOc/Pq(2/18) AAS
計算めんどくさい。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
207: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(3/18) AAS
Rとxyは連結か？
208: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(4/18) AAS
R と { (x, y) | xy = 0 }は同相か？
209: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(5/18) AAS
答え: No
210: 2021/02/19(金)00:10 ID:LaiOc/Pq(6/18) AAS
X = { (x, y) | xy = 0}
とする。同相写像f: X → Rが存在したとすると、これをX＼{(0, 0)}に制限しても同相。
ところが、X＼{(0, 0)}の連結成分の個数は4個で、R＼{f(0, 0)}のそれは2個なので矛盾。
211: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(7/18) AAS
R^2とR^2＼{(0, 0)}は同相か？
212: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(8/18) AAS
答え:No
213: 2021/02/19(金)00:12 ID:LaiOc/Pq(9/18) AAS
R^2は単連結
R^2＼{(0, 0)}は単連結ではない。
214: 2021/02/19(金)00:13 ID:LaiOc/Pq(10/18) AAS
Xを弧状連結な空間とする。
Xが単連結であるとは、基本群π_1(X)が自明であること。
215: 2021/02/19(金)00:14 ID:LaiOc/Pq(11/18) AAS
基本群を定義します
216: 2021/02/19(金)01:42 ID:LaiOc/Pq(12/18) AAS
X, Yは位相空間、f, g: X → Yは連続写像とします。
fとgがホモトピックであるとは、連続写像
H: X × [0, 1] → Y
が存在して、
H(x, 0) = f(x)
H(x, 1) = g(x)
を満たすことです。
217: 2021/02/19(金)01:43 ID:LaiOc/Pq(13/18) AAS
fとgがホモトピックであるという関係は、同値関係です。
218: 2021/02/19(金)01:44 ID:LaiOc/Pq(14/18) AAS
(1) f 〜 f
H(x, t) = f(x)
とすればよい
219: 2021/02/19(金)01:46 ID:LaiOc/Pq(15/18) AAS
(2) f 〜 g ⇒ g 〜 f
H(x, t) を f 〜 gをimplyする写像とします。
H(x, 1 - t)も連続なので、g 〜 fです。
220: 2021/02/19(金)01:52 ID:LaiOc/Pq(16/18) AAS
(3) f 〜 g, g 〜 h ⇒ f 〜 h
H_1(x, t), H_2(x, t)をそれぞれ、f 〜 g, g 〜 hに対応する連続写像とします。
H(x, t) :=
H_1(x, 2t)（0≦t≦1/2）,
H_2(x, 2t - 1)（1/2≦t≦1）
は連続なので、f 〜 gです。
221: 2021/02/19(金)01:54 ID:LaiOc/Pq(17/18) AAS
× は連続なので、f 〜 gです。
○ は連続なので、f 〜 hです。
222: 2021/02/19(金)01:56 ID:LaiOc/Pq(18/18) AAS
X, Yは位相空間とします。
連続写像f: X → Y, g: Y → Xで、
g○f 〜 id_X
f○g 〜 id_Y
をみたすものが存在するとき、XとYはホモトピックであるといいます。
223: 2021/02/19(金)10:37 ID:EgO2j4ec(1) AAS
空間がホモトピックであることも同値関係です。
224: 2021/02/19(金)10:43 ID:esT7cyjY(1) AAS
オイラーの等式って本当にマイナス１になるんですか？
225: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(1/4) AAS
(1) X 〜 X
f = g = id_Xと取ればよい
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