[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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12(1): 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(11/102) AAS
>>11
訂正:
> ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1
∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = a
13: 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(12/102) AAS
(9) ab = ba
14(2): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(13/102) AAS
(10) ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
15(1): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(14/102) AAS
>>14
訂正:
> ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
∀a∈k＼{0}, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
16(1): 2021/02/15(月)12:00 ID:iT3CrOuB(15/102) AAS
例:
有理数全体の集合Q, 実数全体の集合R, 複素数全体の集合Cは、通常の加法と乗法について体となる。
17(1): 2021/02/15(月)12:04 ID:iT3CrOuB(16/102) AAS
例:
有理整数の全体Zは、通常の加法と乗法について、体ではない。
±1以外の元が、Z内に乗法の逆元を持たないからである。
18(1): 2021/02/15(月)12:18 ID:IAiw4Ym0(1) AAS
例:
1元からなる集合{0}に、
0 + 0 = 0
0 0 = 0
で演算を定めたものは、体**でない**と定める。
19: 2021/02/15(月)12:23 ID:iT3CrOuB(17/102) AAS
kを体とする。
n1 = 1 + 1 + ... + 1 (n個) = 0
となる正の整数nが存在するとき、その最小のnをkの標数という。
そのようなnが存在しないとき、kの標数は0であると定める。
20(1): 2021/02/15(月)12:25 ID:iT3CrOuB(18/102) AAS
命題
kを体とする。kの標数は0でなければ素数である。
21(2): 2021/02/15(月)12:27 ID:iT3CrOuB(19/102) AAS
補題
体は整域である。すなわち、a, b∈kに対して
ab = 0 ⇒ a = 0 or b =0
が成り立つ。
22(2): 2021/02/15(月)12:30 ID:iT3CrOuB(20/102) AAS
命題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
0a = a0 = 0
である。
23(1): 2021/02/15(月)12:31 ID:iT3CrOuB(21/102) AAS
補題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
(-1)a = -a
24(1): 2021/02/15(月)12:36 ID:iT3CrOuB(22/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の単位元0、乗法の単位元1は一意的である。
25(2): 2021/02/15(月)12:38 ID:iT3CrOuB(23/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の逆元、乗法の逆元は一意的である。
26: 2021/02/15(月)12:41 ID:iT3CrOuB(24/102) AAS
>>24
証明:
0'∈kが>>5を満たすとすると
0' = 0' + 0 = 0。
1'が>>11-12を満たすとすると
1' = 1' 1 = 1。□
27: 2021/02/15(月)12:45 ID:iT3CrOuB(25/102) AAS
>>25
証明:
a∈kを任意の元とする。-a'が>>6を満たすとする。
-a' = (-a + a) + -a' = -a + (a + -a') = -a。
a∈kを0でない任意の元とする。a'^(-1)が>>14-15を満たすとする。
a'^(-1) = (a^(-1)a)a'^(-1) = a^(-1)(aa'^(-1)) = a^(-1)。□
28: 2021/02/15(月)12:48 ID:iT3CrOuB(26/102) AAS
>>22
証明:
0a
= (0 + 0)a
= 0a + 0a
∴ 0a = 0。
a0
= a(0 + 0)
= a0 + a0
∴ a0 = 0。□
29: 2021/02/15(月)12:49 ID:iT3CrOuB(27/102) AAS
>>23
証明:
a + (-1)a
= (1 + (-1))a
= 0a
= 0
>>25より、(-1)a = -a。□
30: 2021/02/15(月)12:58 ID:iT3CrOuB(28/102) AAS
>>21
証明:
対偶を示す。
a≠0 and b≠0とする。このとき
a^(-1)abb^(-1) = 1 ≠ 0。
>>22より、ab = 0 ならば上記の左辺も0なので、
省1
31: 2021/02/15(月)13:05 ID:iT3CrOuB(29/102) AAS
>>20
証明:
正の整数nに対して、n1 = 0とする。
n = abならば、ab1 = = (a1)(b1) = 0。
よって、>>21より
a1 = 0 or b1 = 0
となるので、nが素数でなければ、n'1 = 0となるnよりも小さい正の整数n'が存在する。□
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