[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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59: 2021/02/15(月)17:06 ID:iT3CrOuB(57/102) AAS
>>58
> 連続関数の和と積は再び連続関数になる
証明:
f, g: R → Rを連続関数、a∈Rを任意の点とする。
(f + g)が x = aで連続であることを示す。
正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、
|x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε/2
|x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε/2
とできる。δ = min(δ_f, δ_g)とおくと、
|x - a| < δ ⇒
|(f + g)(x) - (f + g)(a)|
= |f(x) + g(x) - f(a) - g(a)|
≦ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε。
εは任意であったから、これは(f + g)がx = aで連続であることを示している。aは任意であるから、(f + g)は連続である。
fg（fg(x) := f(x)g(x)）がx = aで連続であることを示す。
正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、
|x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε
|x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε
とできる。Iを(a - δ_g, a + δ_g)に含まれる任意の閉区間とすると、gは連続関数なので、|g(x)|はIにおいて最大値を取る。それをMとおく。δ = min(δ_f, δ_g)とおくと、
|x - a| < δ⇒
|(fg)(x) - fg(a)|
= |f(x)g(x) - f(a)g(a)|
= |f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)|
≦ |f(x) - f(a)| |g(x)| + |f(a)| |g(x) - g(a)|
< (|f(a)| + M)ε。
εは任意であったから、これは(fg)がx = aで連続であることを示している。aは任意であるから、(fg)は連続である。
特に、g = r (定数関数)とおけば、rfは連続関数である。□
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