[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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68: 2022/01/02(日)20:09 ID:VJAPunju(8/14) AAS
佐武一郎著『線型代数学』
特異値についても一応、例として書いてあるんですね。
69: 2022/01/02(日)20:11 ID:VJAPunju(9/14) AAS
>>67
なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。
70: 2022/01/02(日)20:13 ID:12jVebBj(1) AAS
固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います
71: 2022/01/02(日)21:12 ID:VJAPunju(10/14) AAS
>>67
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。
72: 2022/01/02(日)21:17 ID:VJAPunju(11/14) AAS
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
73(1): 2022/01/02(日)21:18 ID:VJAPunju(12/14) AAS
訂正します：
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
省2
74: 2022/01/02(日)21:19 ID:VJAPunju(13/14) AAS
>>73
わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？
>>66
が成り立たない例をお願いします。
75(1): 2022/01/02(日)21:42 ID:VJAPunju(14/14) AAS
>>61
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
求めていた答えを見つけました。
76: 【大吉】 2022/01/03(月)00:02 ID:TlyTpMFR(1) AAS
前>>64
>>32(別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？
77: 2022/01/03(月)02:12 ID:a6/1CByL(1/5) AAS
>>66
A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}
とすると
A は正規行列ではありません。
そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。
省3
78(3): 2022/01/03(月)09:55 ID:MvPkQRfA(1/2) AAS
a,b,cを実数の定数とする。
（1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。
79(2): 2022/01/03(月)10:02 ID:a6/1CByL(2/5) AAS
>>75
任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？
80: 2022/01/03(月)10:18 ID:a6/1CByL(3/5) AAS
>>79
この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？
伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。
「
連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。
」
81: 2022/01/03(月)10:25 ID:a6/1CByL(4/5) AAS
ジョルダンの標準形もいいですが、
>>79
この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。
82: 2022/01/03(月)13:25 ID:a6/1CByL(5/5) AAS
実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？
直交標準形だけでいいように思います。
83: 2022/01/03(月)20:07 ID:MvPkQRfA(2/2) AAS
>>78
結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが…
実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。
よろしくお願いします。
84(1): 2022/01/04(火)11:26 ID:uDWlT/5o(1/3) AAS
なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？
C^n の標準内積を先に勉強した読者にはこの定義が分かりやすいと思います。
V を C 上のベクトル空間とする。
V × V から C への関数 f が、ある V の1つの基底 v_1, …, v_n に対して、、
f(v, w) = x_1*conjugate(y_1) + … + x_m*conjugate(y_n)
（ただし、 v = x_1*v_1 + … + x_n*v_n, w = y_1*v_1 + … + y_n*v_n とする。）
とかけるとき、 f を V 上の内積という。
85: 2022/01/04(火)12:40 ID:4FG0sDWQ(1) AAS
疑問のレベルがどんどん下がってるね
86: 2022/01/04(火)13:57 ID:uDWlT/5o(2/3) AAS
>>84
通常の内積の定義と一致しますが、こちらのほうが分かりやすいです。
87(1): 2022/01/04(火)16:12 ID:E9LIy6R6(1/2) AAS
>>78
この問題を解説よろしくお願いします。
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