[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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834: 2022/02/25(金)10:06 ID:O3TNYiSS(1) AAS
>>830
帰納法により証明する。
n = 0 のときは明らかに成り立つ。
n-1 のときに成り立つと仮定する。
コーシーの定理により、 Z(G) には位数 p の元が存在する。
<a> ⊂ Z(G) だから、 <a> は G の正規部分群である。
#(G/<a>) = p^{n-1} である。
帰納法の仮定により、 G/<a> はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
f : G → G/<a> を自然な全射準同型とする。
H を G/<a> の位数 i ∈ {0, 1, …, n-1} の部分群とする。
f^{-1}(H) は G の部分群である。
f の f^{-1}(H) への制限を g とする。
g : f^{-1}(H) → H は全射準同型である。
f^{-1}(H)/(Ker(g)) は H と同型である。
#(f^{-1}(H)/(Ker(g))) = #H
#f^{-1}(H) / #Ker(g) = #H
#f^{-1}(H) = #Ker(g) * #H = p * #H = p^{i+1}
よって、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^{i+1} であるような部分群を持つ。
すなわち、 G はすべての i ∈ {1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
G は 単位群 {e} を含むから、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
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