[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね 470 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/

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989: １３２人目の素数さん [] 2022/03/03(木) 15:55:53 ID:5ZtsJXBs >>830 G を群とする。 #G = p^n とする。 すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。 このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。 --------------------------------------------------------------------------------- p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。 n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。 k ≧ 2 とする。 n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。 n = k の場合を考える。 #Z(G) | #G = p^k かつ 1 < #Z(G) だから、 #Z(G) = p^l, l ≧ 1 である。 Z(G) はアーベル群であり、 p | #Z(G) だから、アーベル群に対するコーシーの定理により、位数が p である元 a を Z(G) は含む。 i ∈ {1, …, k} とする。 φ : G → G/<a> を標準的な全射準同型とする。 #(G/<a>) = p^{k-1} だから、帰納法の仮定により、 G/<a> は位数が p^{i-1} であるような部分群 H' を持つ。 群の対応定理により、 H := f^{-1}(H') と置くと、 H は G の部分群であり、 H/Ker φ = H' が成り立つ。 Ker φ = <a> だから、 H/<a> = H' が成り立つ。 #(H/<a>) = #H / #<a> = #H' = p^{i-1} ∴ #H = #<a> * p^{i-1} = p^i 以上より、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。 G は単位群を部分群に持つから、 i = 0 のときにも、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/989

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