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分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね 470 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/
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219: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 10:20:21 ID:DX6Gpz57 p を素数とする。 G を Z_p を成分とする行列式が 0 でない 2 次正方行列全体からなる乗法群とする。 #G を p の式で表わせ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/219
222: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 12:02:22 ID:DX6Gpz57 >>221 正解です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/222
226: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 15:28:56 ID:DX6Gpz57 G を群とする。 i を整数とする。 (a * b)^i = a^i * b^i (a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1} (a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2} がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。 このとき、 G は可換群であることを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/226
228: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 16:43:55 ID:DX6Gpz57 (a * b)^i = a^i * b^i (a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1} (a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2} (b * a)^i = a^{-1} * (a * b)^{i + 1} * b^{-1} = a^{-1} * (a^{i+1} * b^{i+1}) * b^{-1} = a^i * b^i なので、 (a * b)^i = (b * a)^i 同様にして（i を i + 1 に置き換えて、同様の式変形をすると） (a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1} c := (a * b)^i = (b * a)^i とおく。 (a * b) * c = (a * b) * (a * b)^i = (a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1} = (b * a) * (b * a)^i = (b * a) * c ∴ a * b = b * a http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/228
229: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 16:49:19 ID:DX6Gpz57 >>228 我ながら、いい解答ですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/229
230: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 17:35:20 ID:DX6Gpz57 ところで、この問題の次の問題が以下の問題です： G を群とする。 i を整数とする。 (a * b)^i = a^i * b^i (a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1} がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。 このとき、 G は可換群であるとは言えないことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/230
231: １３２人目の素数さん [sage] 2022/01/17(月) 17:38:05 ID:DX6Gpz57 (a * b)^0 = a^0 * b^0 (a * b)^1 = a^1 * b^1 は任意の群で成り立つ。 群の中には非可換群が存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/231
232: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 17:38:58 ID:DX6Gpz57 もし、 >>230 の問題が試験で出題された場合、 >>231 この解答でOKですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/232
234: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 17:49:56 ID:DX6Gpz57 >>230 の問題は別に任意の i, i + 1 に対して成り立つことを仮定していません。 ある i, i + 1 に対して仮定が成り立つが、 G は非可換でありえるということを示せば十分なはずです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/234
236: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 17:54:44 ID:DX6Gpz57 >>225 この2つの問題はある教科書に載っている問題です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/236
238: １３２人目の素数さん [] 2022/01/17(月) 18:10:39 ID:DX6Gpz57 この教科書の著者は不注意な人ですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/238
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