Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65

[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

491: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:42:51.22 ID:MU2asfqc

>>490
つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(2015-02).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論への誘(いざな)い《レクチャーノート版》 望月新一 2015年 02月
P2
以下では、E = 楕円曲線/数体 F, 素数 1>＝5を固定する。
P3
Eを「大域的乗法的部分空間」で 割る ことによって得られる同種写像を E → E* と書くと、各 bad な有限素点においてそれぞれの q-parameter は次のような関係式を満たす:
q^lE＝qE*
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:ZOqM2WAfnxwJ:https://twitter.com/unaoya/status/1501162983204212737+&cd=5&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
梅崎直也
Mar 6
来週日曜日は現代数学レクチャーシリーズ第8回宇宙際タイヒミューラー理論の予習回ということで、楕円曲線についての入門的なお話をします。こちらからお申し込みください。
https://sugakubunka.com/gendaisugaku-8/
宇宙際タイヒミューラー理論ではqパラメータというのが重要な役割を果たしている（と思う）のですが、このqというのが楕円曲線の話とどう関わっているのかをお話しできればと思っています。
Mar 8, 2022

梅崎直也氏をヒントに調べると
多分下記のq = exp(2πiz) (Takeshi Saito) （モジュラー形式 ノーム(nome)の平方、q-展開からみ モジュラリティ定理（q=e^2πiτ）
が該当しそう。（梅崎直也先生の講義と答えは、合っているかな？）ちゃんと、文書中に定義を書いてほしいね、望月先生 （この分野の人には常識なのだろうが）

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/
Takeshi Saito's Home Page
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/0121.pdf
Fermat’s Enigma
1 楕円曲線
2 保型形式
H = z ∈ C|Im z > 0 を上半平面という．
保型形式：H 上定義された正則関数 f(z) のうち，特別な性質をみたすもの．
性質１．f(z + 1) = f(z)
q = exp(2πiz) とおくと，f(z) = Σ∞ n=?∞ an・q^n と表わせる．z = x + iy のとき，
q = exp(2πiz) = e?2πy(cos 2πx + isin 2πy)
だから，y > 0 なら |q| < 1. q(z + 1) = q(z).

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/491

492: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:44:04.80 ID:MU2asfqc

>>491
つづき

3 楕円曲線と保型形式の関係
L 関数
いろいろなゼータ関数がある．楕円曲線の L 関数もその一種．
y2 = x3 + ax + b で定義される楕円曲線を E で表わす．各素数 p に対し，整数 ap(E)
を定義し，L 関数を
L(E,s) = Πp 1/(1 ? ap(E)p?s ? p1?2s)
で定義する．
ap(E) の定め方：
保型形式との結びつき：無限積を展開すると L(E,s) = Σ∞ n=1 an/ns と表わせる．
志村・谷山予想：Σ n=1 an/q^n が保型形式である．
（付録）Fermat の最終定理と楕円曲線　関連年表 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho.pdf

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F#q-%E5%B1%95%E9%96%8B
モジュラー形式
5.3 q-展開
モジュラー形式の q-展開 (q-expansion)[note 2] はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが（ノーム(nome)の平方）q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → ?∞ とした極限で exp(w) → 0 なので、2πiz → ?∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i?∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。
「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開
f(z)=Σ _n=-m^∞ c_n exp(2π inz)=Σ _n=-m^∞ c_n・q^n.
は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 cn は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i?∞ における極の位数である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/492

494: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:45:27.58 ID:MU2asfqc

>>493
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E2%80%93%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山?志村予想
谷山・志村予想の内容
谷山・志村予想とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する古典的モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)
X_0(N)
からの整数係数を持つ有理写像（英語版）(rational map)を通して得ることができる。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つ。Level N のモジュラのパラメタ表示と呼ばれる。N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）であれば、このパラメタ表示は、Weight 2 とLevel N の特殊なモジュラ形式、すなわち、（必要であれば同種に従い）正規化された 整数のq-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、定義される。
モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、
L(s,E)=Σ _n=1^∞ a_n/n^s
と表すことができる。
従って、係数 a_n の母函数は、
f(q,E)=Σ _n=1^∞ a_n・q^n
である。
q=e^2πiτ
を代入すると、複素変数 τ の函数f(τ ,E) のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は f のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse?Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。
逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の正則微分（英語版）(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/494

495: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:57:17.32 ID:MU2asfqc

>>490
>宇宙際Teichmuller理論
>[7] The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF 　　NEW !! (2020-12-23)
>https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

上記より下記引用
・Gaussian integral ∫ ∞ -∞ e-x2 dx = √π
・[archimedean and nonarchimedean] valuations
・Changes of universe as arithmetic changes of coordinates
関連

P6
§ 1. Review of the computation of the Gaussian integral
§ 1.1. Inter-universal Teichm¨uller theory via the Gaussian integral
The goal of the present paper is to pave the road, for the reader, from a state of
complete ignorance of inter-universal Teichm¨uller theory to a state of general appreciation of the “game plan” of inter-universal Teichm¨uller theory by reconsidering
the well-known computation of the Gaussian integral
∫ ∞ -∞ e-x2 dx = √π
via polar coordinates from the point of view of a hypothetical high-school student who
has studied one-variable calculus and polar coordinates, but has not yet had any exposure to multi-variable calculus.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/495

496: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:57:42.85 ID:MU2asfqc

>>495
つづき

P7
§ 1.3. Introduction of identical but mutually alien copies

P12
§ 2. Changes of universe as arithmetic changes of coordinates
§ 2.1. The issue of bounding heights: the ABC and Szpiro Conjectures

In this case, the height of a rational point may
be thought of as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the elliptic curve determined by the rational point at the nonarchimedean primes of potentially multiplicative reduction [cf. the discussion at the end of [Fsk], §2.2; [GenEll],
Proposition 3.4]. Here, it is also useful to recall [cf. [GenEll], Theorem 2.1] that, in the
situation of the ABC or Szpiro Conjectures, one may assume, without loss of generality,
that, for any given finite set Σ of [archimedean and nonarchimedean] valuations of the
rational number field Q,

In particular, when one computes the height of a rational point of the projective line
minus three points as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the corresponding elliptic curve, one may ignore, up to bounded discrepancies, contributions to the height that arise, say, from the archimedean valuations or from the
nonarchimedean valuations that lie over some “exceptional” prime number such as 2.

P28
It is precisely this state of affairs that results in
the quite central role played in inter-universal Teichm¨uller theory by results in
[mono-]anabelian geometry, i.e., by results concerned with reconstructing
various scheme-theoretic structures from an abstract topological group that “just
happens” to arise from scheme theory as a Galois group/´etale fundamental
group.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/496

497: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:58:42.09 ID:MU2asfqc

>>496
つづき

In this context, we remark that it is also this state of affairs that gave rise to the term
“inter-universal”: That is to say, the notion of a “universe”, as well as the use of
multiple universes within the discussion of a single set-up in arithmetic geometry, already
occurs in the mathematics of the 1960’s, i.e., in the mathematics of Galois categories
and ´etale topoi associated to schemes. On the other hand, in this mathematics of the
Grothendieck school, typically one only considers relationships between universes ? i.e.,
between labelling apparatuses for sets ? that are induced by morphisms of schemes, i.e.,
in essence by ring homomorphisms. The most typical example of this sort of situation
is the functor between Galois categories of ´etale coverings induced by a morphism of
connected schemes. By contrast, the links that occur in inter-universal Teichm¨uller
theory are constructed by partially dismantling the ring structures of the rings in their
domains and codomains [cf. the discussion of §2.7, (vii)], hence necessarily result in
much more complicated relationships between the universes ? i.e., between the labelling apparatuses for sets ? that are adopted in the Galois categories that occur in the domains and codomains of these links, i.e., relationships that do not respect the various labelling apparatuses for sets that arise
from correspondences between the Galois groups that appear and the respective
ring/scheme theories that occur in the domains and codomains of the links.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/497

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 492 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.008s