[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65 (1002ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/

上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割 ﾚｽ栞

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

491: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:42:51.22 ID:MU2asfqc >>490 つづき https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(2015-02).pdf 宇宙際タイヒミューラー理論への誘(いざな)い《レクチャーノート版》 望月新一 2015年 02月 P2 以下では、E = 楕円曲線/数体 F, 素数 1>＝5を固定する。 P3 Eを「大域的乗法的部分空間」で 割る ことによって得られる同種写像を E → E* と書くと、各 bad な有限素点においてそれぞれの q-parameter は次のような関係式を満たす: q^lE

＝qE* https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:ZOqM2WAfnxwJ:https://twitter.com/unaoya/status/1501162983204212737+&cd=5&hl=ja&ct=clnk&gl=jp 梅崎直也 Mar 6 来週日曜日は現代数学レクチャーシリーズ第8回宇宙際タイヒミューラー理論の予習回ということで、楕円曲線についての入門的なお話をします。こちらからお申し込みください。 https://sugakubunka.com/gendaisugaku-8/ 宇宙際タイヒミューラー理論ではqパラメータというのが重要な役割を果たしている（と思う）のですが、このqというのが楕円曲線の話とど

う関わっているのかをお話しできればと思っています。 Mar 8, 2022 梅崎直也氏をヒントに調べると 多分下記のq = exp(2πiz) (Takeshi Saito) （モジュラー形式 ノーム(nome)の平方、q-展開からみ モジュラリティ定理（q=e^2πiτ） が該当しそう。（梅崎直也先生の講義と答えは、合っているかな？）ちゃんと、文書中に定義を書いてほしいね、望月先生 （この分野の人には常識なのだろうが） (参考) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/ Takeshi Saito's Home Page https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/0121.pdf Fermat’s Enigma 1 楕

円曲線 2 保型形式 H = z ∈ C|Im z > 0 を上半平面という． 保型形式：H 上定義された正則関数 f(z) のうち，特別な性質をみたすもの． 性質１．f(z + 1) = f(z) q = exp(2πiz) とおくと，f(z) = Σ∞ n=?∞ an・q^n と表わせる．z = x + iy のとき， q = exp(2πiz) = e?2πy(cos 2πx + isin 2πy) だから，y > 0 なら |q| < 1. q(z + 1) = q(z). つづく https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/491

492: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:44:04.80 ID:MU2asfqc >>491 つづき 3 楕円曲線と保型形式の関係 L 関数 いろいろなゼータ関数がある．楕円曲線の L 関数もその一種． y2 = x3 + ax + b で定義される楕円曲線を E で表わす．各素数 p に対し，整数 ap(E) を定義し，L 関数を L(E,s) = Πp 1/(1 ? ap(E)p?s ? p1?2s) で定義する． ap(E) の定め方： 保型形式との結びつき：無限積を展開すると L(E,s) = Σ∞ n=1 an/ns と表わせる． 志村・谷山予想：Σ n=1 an/q^n が保型形式である． （付録）Fermat の最終定理と楕円曲線　

関連年表 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho.pdf https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F#q-%E5%B1%95%E9%96%8B モジュラー形式 5.3 q-展開 モジュラー形式の q-展開 (q-expansion)[note 2] はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが（ノーム(nome)の平方）q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → ?∞ とした極限で exp(w)

→ 0 なので、2πiz → ?∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i?∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。 「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開 f(z)=Σ _n=-m^∞ c_n exp(2π inz)=Σ _n=-m^∞ c_n・q^n. は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 cn は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i?∞ における極の位数である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/mat

h/1644632425/492

493: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:45:07.41 ID:MU2asfqc >>492 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%A0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) ノーム (数学) 数学の分野、特に楕円函数論において、ノーム (nome) とは、次式によって与えられる特殊函数のことである。 q=e^-π K'/K=e^iπ ω2/ω1=e^iπ/τ, ここに K と iK ′ は1/4周期（英語版）(quarter period)であり、ω1 と ω2 は周期の基本ペア（英語版）(fundamental pair of periods)である。記号としては、1/4周期 K と iK ′ は通常、ヤコビの楕円函

数(Jacobian elliptic functions)の文脈においてのみ用いられるが、1/2周期 ω1 と ω2 はヴァイエルシュトラスの楕円函数の文脈においてのみ用いられる。ω1 と ω2 を1/2周期というより全体の周期を表すために使うアポストル(Apostol)のような著者も居る。 ノームは楕円函数やモジュラ函数が表す値として頻繁に使われる。その一方で、1/4周期が楕円モジュラスの函数であることから、函数として考えることもある。楕円モジュラス、1/4周期、従ってノームの実数値が一意に決まることから、この曖昧さが起きる。 函数 τ = iK ′/K = ω1/ω2 は、楕円

函数の 2つの1/2周期の比なので、1/2周期比(half-period ratio)と呼ばれることもある。 補ノーム(complementary nome) q1 は、 q1=e^-πK/K' で与えられる。 ノームに関連するさらなる定義や関係については、1/2周期（英語版）(quarter period)や楕円積分(elliptic integral)を参照すること。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/493

494: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 11:45:27.58 ID:MU2asfqc >>493 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E2%80%93%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3 谷山?志村予想 谷山・志村予想の内容 谷山・志村予想とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する古典的モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve) X_0(N) からの整数係数を持つ有理写像（英語版）(rational map)を通して得ることができる。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つ。Level N のモジュラのパラメタ表示と呼

ばれる。N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）であれば、このパラメタ表示は、Weight 2 とLevel N の特殊なモジュラ形式、すなわち、（必要であれば同種に従い）正規化された 整数のq-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、定義される。 モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、 L(s,E)=Σ _n=1^∞ a_n/n^s と表すことができる。 従

って、係数 a_n の母函数は、 f(q,E)=Σ _n=1^∞ a_n・q^n である。 q=e^2πiτ を代入すると、複素変数 τ の函数f(τ ,E) のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は f のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse?Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。 逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の正則微分

（英語版）(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/494

495: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:57:17.32 ID:MU2asfqc >>490 >宇宙際Teichmuller理論 >[7] The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF 　　NEW !! (2020-12-23) >https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf 上記より下記引用 ・Gaussian integral ∫ ∞ -∞ e-x2 dx = √π ・[archimedean and nonarchimedean] valuations ・Changes of universe as ari

thmetic changes of coordinates 関連 P6 § 1. Review of the computation of the Gaussian integral § 1.1. Inter-universal Teichm¨uller theory via the Gaussian integral The goal of the present paper is to pave the road, for the reader, from a state of complete ignorance of inter-universal Teichm¨uller theory to a state of general appreciation of the “game plan” of inter-universal Teichm¨uller theory by reconsidering the well-known computation of the Gaussian integral ∫ ∞ -∞ e-x2 dx = √π via polar co

ordinates from the point of view of a hypothetical high-school student who has studied one-variable calculus and polar coordinates, but has not yet had any exposure to multi-variable calculus. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/495

496: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:57:42.85 ID:MU2asfqc >>495 つづき P7 § 1.3. Introduction of identical but mutually alien copies P12 § 2. Changes of universe as arithmetic changes of coordinates § 2.1. The issue of bounding heights: the ABC and Szpiro Conjectures In this case, the height of a rational point may be thought of as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of the elliptic curve determined by the rational point at the nonarchimedean primes of potent

ially multiplicative reduction [cf. the discussion at the end of [Fsk], §2.2; [GenEll], Proposition 3.4]. Here, it is also useful to recall [cf. [GenEll], Theorem 2.1] that, in the situation of the ABC or Szpiro Conjectures, one may assume, without loss of generality, that, for any given finite set Σ of [archimedean and nonarchimedean] valuations of the rational number field Q, In particular, when one computes the height of a rational point of the projective line minus three points as a suitable weighted

sum of the valuations of the q-parameters of the corresponding elliptic curve, one may ignore, up to bounded discrepancies, contributions to the height that arise, say, from the archimedean valuations or from the nonarchimedean valuations that lie over some “exceptional” prime number such as 2. P28 It is precisely this state of affairs that results in the quite central role played in inter-universal Teichm¨uller theory by results in [mono-]anabelian geometry, i.e., by results concerned with reconstruct

ing various scheme-theoretic structures from an abstract topological group that “just happens” to arise from scheme theory as a Galois group/´etale fundamental group. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/496

497: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:58:42.09 ID:MU2asfqc >>496 つづき In this context, we remark that it is also this state of affairs that gave rise to the term “inter-universal”: That is to say, the notion of a “universe”, as well as the use of multiple universes within the discussion of a single set-up in arithmetic geometry, already occurs in the mathematics of the 1960’s, i.e., in the mathematics of Galois categories and ´etale topoi associated to schemes. On the other hand, in

this mathematics of the Grothendieck school, typically one only considers relationships between universes ? i.e., between labelling apparatuses for sets ? that are induced by morphisms of schemes, i.e., in essence by ring homomorphisms. The most typical example of this sort of situation is the functor between Galois categories of ´etale coverings induced by a morphism of connected schemes. By contrast, the links that occur in inter-universal Teichm¨uller theory are constructed by partially dismantling th

e ring structures of the rings in their domains and codomains [cf. the discussion of §2.7, (vii)], hence necessarily result in much more complicated relationships between the universes ? i.e., between the labelling apparatuses for sets ? that are adopted in the Galois categories that occur in the domains and codomains of these links, i.e., relationships that do not respect the various labelling apparatuses for sets that arise from correspondences between the Galois groups that appear and the respective rin

g/scheme theories that occur in the domains and codomains of the links. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/497

498: １３２人目の素数さん [] 2022/04/23(土) 12:58:59.81 ID:MU2asfqc >>497 つづき That is to say, it is precisely this sort of situation that is referred to by the term “inter-universal”. Put another way, a change of universe may be thought of [cf. the discussion of §2.7, (i)] as a sort of abstract/combinatorial/arithmetic version of the classical notion of a “change of coordinates”. In this context, it is perhaps of interest to observe that, from a purely classical point of view, the notion of

a [physical] “universe” was typically visualized as a copy of Euclidean three-space. Thus, from this classical point of view, a “change of universe” literally corresponds to a “classical change of the coordinate system ? i.e., the labelling apparatus ? applied to label points in Euclidean three-space”! (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/498

499: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:00:21.73 まーた、下げマスが「わけもわからずコピペ病」を発症したかｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/499

500: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:01:29.04 円も分からん馬鹿に楕円曲線がわかるわけないだろ　ドアフォ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/500

501: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:02:29.63 ということで全部洗い流すｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/501

502: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:03:24.55 ニホンザルのηはいったい何がしたいんだかｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/502

503: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:04:22.40 ああ、それから今後ニホンザルの下げマスを”η”の一文字で表す http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/503

504: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:05:22.68 なんでηかは・・・お察しくださいｗ https://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%97 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/504

505: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:11:03.67 ηはこれ読んどけ https://toyokeizai.net/articles/-/475479 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/505

506: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:12:24.12 数学好きな大学生や生徒が数学に興味・関心を示すのは、 「なぜそのような性質がいえるのか」というプロセスや、 「そのような応用例もあるとは不思議だ」という楽しい応用話である。 したがって、質問は「どうしてこれが成り立つのですか」という部分に集中する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/506

507: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:14:20.90 ＊＊大学の学生は心掛けがすばらしく、授業態度はかなり良い。 その一方で、数学の学び方が小学生の頃から間違っていたと思われる学生が少なくない。 すなわち、なんでも理解せずに暗記に頼る学習である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/507

508: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:15:21.40 多項式の微分と積分の計算はできる学生に、 「AグループまたはBグループに所属する学生の人数は、 　『Aの人数＋Bの人数−AかつBの人数』だから……」と話すと、 「それって暗記した記憶はありませんが、暗記するものですか」 と質問する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/508

509: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:16:05.08 等式の右辺にある項を左辺に移す移項に関して、 「両辺に−aを加えるから、右辺にあるaを左辺に移すとマイナスが付く」と説明すると、 「初めて移項の意味がわかりました。そうすればよいと単に暗記していました」と答える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/509

510: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/23(土) 16:17:26.57 かけ算の筆算に関して、 「10の位の数をかけるから1つずらして書いて、 　100の位の数をかけるから、さらに1つずらして書く。 　本当は10の位の数をかけるときは最後の0を省略しないほうがよいかもしれない。 　同様に、100の位の数をかけるときは最後の00を省略しないほうがよいかもしれない。 　なぜ3桁同士のかけ算の学習が必要かと言えば、 　ドミノ倒しやボックスティシュのように、帰納的に次々と続く性質の理解には 　『3』が大切なんです」と繰り上がりの仕組みを図に描いて説

明すると、 「よくわかりましたけど、こんな説明を聞いたのは人生で初めてです」と答える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/510

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

あと 492 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

Google検索

Wikipedia

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.017s