[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part421 (1002ﾚｽ)
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215: 2022/09/18(日)19:29 ID:MxB4/sJ4(3/3) AAS
>>210
Aの中で最小の絶対値≠0を持つものをkとする。
k-k=0∈A、0-k∈A、k+k=2k∈A
これらより全ての整数nに対してnk∈A
よってkの倍数は全てAに含まれる。逆にAに含まれる元は全てkの倍数であることは、
任意のa∈Aは
a=qk+r、0≦r<|k|、とq、rを用いて一意に表せる。a, qk∈Aよりr∈A、|k|の最小生により表せる=0。よってaはkの倍数である。
216(1): 2022/09/18(日)19:49 ID:1uJTCEh3(1/3) AAS
(塾のテキスト)1
ある整数bに対して
(1) bの倍数同士の和はbの倍数である。
(2) bの倍数の倍数はbの倍数てある。
(3) 一般にak (k=1…n) がbの倍数の時、Σ[k=1, n] akxk (4)
はbの倍数である。
(4)においてxk=1(k=1…n)とすれば(1)になる。x1=1、xk=0 (k≠1) とすれば(2)になる。
217(1): 2022/09/18(日)19:52 ID:1uJTCEh3(2/3) AAS
aは任意、b>0とすると
a=qb+r、0≦r<bを満たすq、rの組が唯一つ存在することを証明せよ。
218: 2022/09/18(日)20:01 ID:1uJTCEh3(3/3) AAS
>>216
仮定より任意のk (k=1…n)に対してak=bck、ckは整数、とおける
Σ[k=1, n]akxk=Σ[k=1, n](bkck)xk=Σ[k=1, n]ckxk
これは整数である。
219: 2022/09/18(日)21:22 ID:Ff693uua(1) AAS
>>217
任意の実数xに対して、qb≦x<(q+1)bを満たす整数qが唯一つ存在する。
区間[q, q+1)は整数qを1つ定めれば唯一つに決まる。整数qが異なれば区間は異なり共通部分は無い。
整数aは上の実数xの性質を持つのでqb≦a<(q+1)bが成り立つ。
0≦a-qb<b
(q, r)とは別の組(q', r')が存在すると
仮定すると
a=qb+r=q+b+r+とおける
(q-q')b=(r'-r)
0≦r<b、0≦r'<bより
省9
220(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2022/09/18(日)23:59 ID:MVwJcp0M(1) AAS
前>>195計算過程をちゃんと示したい。
間違いなく解けたはず。
-1/cos^3θの項が出て-1/(cosθ・cos^2θ)と分けるやり方を勉強した。
221: 2022/09/19(月)00:30 ID:9CJacGxy(1/4) AAS
いいですね、回答に勢いがあります。
では私からも質問します。
次の命題の真偽を述べ、証明せよ。
「C[4n,2n]/C[2n,n]が整数となるnは有限個しか存在しない。」
ここでC[s,t]は二項係数sCtである。
222(2): 2022/09/19(月)01:23 ID:piJNIv7g(1/10) AAS
1 公倍数は最小公倍数の倍数であることを証明せよ。
223(2): 2022/09/19(月)01:23 ID:piJNIv7g(2/10) AAS
2 公約数は最大公約数の約数であることを証明せよ。
224(2): 2022/09/19(月)01:25 ID:piJNIv7g(3/10) AAS
3 AB=LGが成り立つことを証明せよ。ここでL=lcm(A, B)、G=gcd(A, B)とする。
225(3): 2022/09/19(月)01:26 ID:piJNIv7g(4/10) AAS
4 aとbが互いに素で、bcがaで割り切れる時、cはaで割り切れることを証明せよ。
226(2): 2022/09/19(月)01:27 ID:piJNIv7g(5/10) AAS
5 aとbの最大公約数はa-qbとbの最大公約数に等しいことを証明せよ。
227(1): 2022/09/19(月)01:27 ID:piJNIv7g(6/10) AAS
6 3個以上の整数の最小公倍数を求める時、その一部をそれらの最小公倍数で置き換えてよいことを証明せよ。
228(1): 2022/09/19(月)01:49 ID:piJNIv7g(7/10) AAS
>>222
a、b、c、…の任意の公倍数をXとする。
X=qL+r、0≦r<L、を満たす唯一つのq、rの組が存在する。
r=X-qLよりrはaの倍数である。
同様にb、c…の倍数でもあるのでrは公倍数である。ここでr≠0とするとLの最小性に反する。よってr=0となる。
229: 2022/09/19(月)01:55 ID:EIJy5F+K(1/3) AAS
>>228
自演ばれちゃってますよ…
230: 2022/09/19(月)02:00 ID:EIJy5F+K(2/3) AAS
自分の質問に自分で解答して何の意味があるんですかねぇ
231: 2022/09/19(月)02:12 ID:piJNIv7g(8/10) AAS
>>223
任意の公約数をMとし、MとGの最小公倍数をLとする。
aはMとGの公倍数であるからLの倍数である。同様にb, c…もLの倍数である。するとLは全ての数の公約数になるから公約数である。ここでL>GとするとGの最大性に反する。よってL=G。したがってMはGの約数になる。
232: 2022/09/19(月)02:24 ID:EIJy5F+K(3/3) AAS
えぇ…なんで自分の質問に自分で答えてるんですか…こわいこわい
233: 2022/09/19(月)02:42 ID:piJNIv7g(9/10) AAS
>>224
L=As=Btとおける。(1)
またAB=Luとおける
よってAB=Asu=Btuであるから
B=su、A=tuとなる
uはA、Bの公約数なので
G=uvとおける。
AはG=uvで割り切れるからtはvで割り切れる。同様にsはvで割り切れる。よってt=vx、s=vyとおける
L/v=Ay=Bx
x>1とするとL/xが最小公倍数となりLの最小性に反する。よってv=1
省1
234: 2022/09/19(月)02:48 ID:piJNIv7g(10/10) AAS
>>225
公式AB=GLを使うとG=1より
ab=L。bcはaの倍数でありbの倍数でもあるからa、bの公倍数。
よってbcはabの倍数。
bc=abtとおける。c=atとなるのでcはaで割り切れる。
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