[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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474(1): 2024/10/28(月)10:35 ID:D7qB0gJK(1) AAS
>>470-473
ご苦労様です
スレ主です
昨日のID:Lm3Cuqek
今日のID:b/Y5+1av
が、御大か
お久しぶりです
ご帰還、ご活躍、お慶び申し上げます
>二次方程式の解の公式はラグランジュ分解式の典型的な使用例である
>中学ではそんなこと教えませんが事実です
省37
475: 2024/10/28(月)10:43 ID:8sVTTvTv(1) AAS
今の公務も全部文化的
476(2): 2024/10/28(月)17:17 ID:RKHLAFGq(1/5) AAS
>>474
> ガロアはラグランジュ分解式を一般化して
> ガロア分解式 V=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee を考えた これは
> ガロア第一論文の主役です
ガロア分解式の値、どうやって求めるの？
477(2): 2024/10/28(月)17:19 ID:RKHLAFGq(2/5) AAS
>>476
> ラグランジュ分解式の良いところは、
> いずれ必要になる１のべき根を先取りしているってことです
ガロア群が位数ｎの巡回群なら、
ラグランジュ分解式のｎ乗で、
解の対称式になるものが存在する
だから、解がｎ乗根で解ける
これがポイント
君、10年何やってたの？
478(2): 2024/10/28(月)17:20 ID:RKHLAFGq(3/5) AAS
>>477
> 一方、ガロア分解式の良いとところは、
>１のべき根みたいな些末なことは隠蔽して
一般のガロア群のガロア分解式は、
ガロア群が巡回群の場合のラグランジュ分解式のような
良い性質がないゆえ、べき根で解けない
479(2): 2024/10/28(月)17:21 ID:RKHLAFGq(4/5) AAS
>>478
> (ガロア分解式の良いところは）
> 抽象度の高い いわゆる 抽象代数学の世界に、
> 代数方程式の解法を引き上げたことなのです
抽象代数学は、べき根以外の方法による代数方程式の解法を与えない
端的にいえば、ガロア理論は、一般の代数方程式の解法を与えない
そもそも、そういう目的で考えられたものではない
480(1): 2024/10/28(月)17:23 ID:RKHLAFGq(5/5) AAS
>>479
> 大学でガロア理論を習っても大半の人は、
> ガロア第一論文を読まないかもですが
> ガロア第一論文は、読む価値ありですよ
ガロア第一論文を読んでも、べき根で解けない代数方程式が新解法で解けるわけではない
代数方程式の解が欲しいだけなら、ガロア理論なんか勉強せず、
代数学の基本定理の証明を理解した上で、数値解法を勉強したほうがいい
481(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/10/29(火)10:32 ID:fBEEzB5K(1) AAS
>>476-480
> ガロア第一論文を読んでも、べき根で解けない代数方程式が新解法で解けるわけではない
> 代数方程式の解が欲しいだけなら、ガロア理論なんか勉強せず、
> 代数学の基本定理の証明を理解した上で、数値解法を勉強したほうがいい
・あんたは、知識の絶対量が足りないね。
一言で言えば不勉強だ
・下記の元吉文男 5次方程式の可解性の高速判定法 1993を見てみな
いまどき、手計算する人はすくない
プログラム組めば、数値解法も数式処理も似たようなものだろうｗ ；ｐ）
・あと、wikipedia 五次方程式 Quintic function
省39
482: 2024/10/29(火)10:55 ID:vEKl58wo(1/2) AAS
30年以上前の話か
483: 2024/10/29(火)11:19 ID:GBBp+qXU(1) AAS
>>481
こいつもしかして、任意の代数方程式の解がガロア理論で得られる、と妄想してんのか？
484: 2024/10/29(火)12:21 ID:vEKl58wo(2/2) AAS
ポスト二コフの本がよく読まれたころは
そう思う者はいなかったはず
485: 2024/10/29(火)20:42 ID:t18/Ya6W(1/3) AAS
ラファウ「今から地球を動かす」
ガロア「今から根たちを動かす」
486: 2024/10/29(火)21:24 ID:t18/Ya6W(2/3) AAS
根たちを動かすにあたって、n次一般方程式の場合は
n次対称群というものが18世紀から知られていた。
しかし、個々の数字方程式、さらには複数の方程式たち
またそれらの根たちから加減乗除で作られる数たちも
含めて、「合理的な動き」はどのようにして
定まるのだろう？
大雑把に言うと、「ガロア分解式」とは
その合理的な動き=「方程式のガロア群」を取り出す
ための工夫なのである。
ラグランジュ分解式とは目的からして異なる。
487(5): 2024/10/29(火)21:32 ID:t18/Ya6W(3/3) AAS
根たちを合理的に動かすことができれば
空間に作用する群（たとえばユークリッド運動群）
との比較で、解析学と類似の方法も適用できる。
事実、ラグランジュ分解式はフーリエ変換と見做すことができる。
この美しい事実をいくら説明しても理解できない
（しようとさえしない）ひとがいた。
488(1): 2024/10/30(水)05:36 ID:nI8LxiQO(1/7) AAS
>>487
486の（方程式の分解体の）合理的な動き=「方程式のガロア群」の中には
好都合なものと不都合なものがある
好都合なものの典型が巡回群、そしてその群を正規部分群で割った商群がみな巡回群で
どんどん正規部分群で割り続けることでそれ自身も巡回群になってしまうから、好都合
なぜ、好都合かといえば、ガロア群が位数ｎの巡回群なら、
ラグランジュ分解式のｎ乗が、方程式の解の対称式で表せる
つまり解を付加しない基礎体の要素となるから
これが「べき根で解ける」という意味
489(5): 2024/10/30(水)05:51 ID:nI8LxiQO(2/7) AAS
>>488のつづき
> ラグランジュ分解式はフーリエ変換と見做すことができる。この美しい事実・・・
ガウスが、上記の事実を「フーリエ変換」として理解したかどうかは分からんが
美しいと感じたことは間違いない
> ・・・をいくら説明しても理解できない（しようとさえしない）ひとがいた。
ガウスの観点からすると、一般の五次以上の代数方程式はべき根で解けないとか
べき根で解けるかどうかは、方程式の分解体の自己同型群の性質でわかるとかいうのは
「そりゃそうだろうけど、それだけだったら、だから何なん？」ということになる
490(1): 2024/10/30(水)05:54 ID:nI8LxiQO(3/7) AAS
>>489のつづき
>「そりゃそうだろうけど、それだけだったら、だから何なん？」
もちろんそれだけじゃない、というのが答えであって、
例えば代数方程式の解法に固執して考えるなら、
方程式の解の線型結合から、指数関数ではなくもっと特殊な関数を使うことで
方程式の解の対称式を導くことができるなら、その逆関数を使うことで解が得られる
というストーリーが考えられる
491(1): 2024/10/30(水)05:55 ID:nI8LxiQO(4/7) AAS
>>490
その結果（かどうかは分からん）が
楕円モジュラー関数（と楕円積分）を用いた５次方程式の求解であり
ジーゲルモジュラー形式（と超楕円積分）を用いた一般次数のトマエの公式
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
492: 2024/10/30(水)06:03 ID:nI8LxiQO(5/7) AAS
>>491
ガウスは、アーベルやガロアが何を目指していたかはうすうす分かっていた上で
「ふっふっふ、おまえらまだまだだな
はよ、俺のいるところまで上がってこい 待っているぞ」
と思っていたんだろうと推察する
ヤな爺ィだ だから息子が二人もアメリカに行っちゃうんだよｗ
493: 2024/10/30(水)06:06 ID:nI8LxiQO(6/7) AAS
ガウスの晩年の不幸
・心の息子たち（アーベルとかガロアとか）は早死にする
・実の息子たち（後妻の子であるオイゲンとウィルヘルム）は親父を嫌ってアメリカに行っちゃう
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