ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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459: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 18:00:57.78 ID:w/QxknnI

>>447
>KIT数学ナビゲーション 金沢工大
>ベクトルを用いた加法定理の証明

"ベクトルを用いた加法定理の証明"
その先に、複素数を 複素平面上のベクトルとみて、極形式を使うと
二つの複素数の積を、複素平面上のベクトルの拡大と回転とみることができる
その先に、四元数による三次元空間の回転の扱いがある

(参考)
manabitimes.jp/math/875
高校数学の美しい物語
複素数平面における極形式と回転 2023/05/07
極形式
複素数を a+biではなくr(cosθ+isinθ)
という形で表すことがあります。これを複素数の極形式と言います。
この記事では，複素数の極形式と回転についてわかりやすく解説します。
目次
複素数の極形式
複素数を極形式で表す方法
指数関数による極形式
複素数平面について
複素数平面における回転

複素数平面における回転
極形式の知識をふまえて，複素数平面における回転について解説します。
「複素数平面における点の回転」は「複素数のかけ算」に対応する。
もっと数学的にきちんと言うと，「偏角が θ1  である複素数」と「偏角が θ2  である複素数」の積は
「偏角が θ1+θ2  である複素数」となる，です。
「回転」という一見やっかいな操作が，複素数のかけ算という簡単な計算で表現できるのでありがたいです。「回転をかけ算で扱える」というのが，複素数平面を使う最大のメリットと言えるでしょう。
この性質を証明してみましょう。
証明
略す

manabitimes.jp/math/983
高校数学の美しい物語
四元数と三次元空間における回転 2021/03/07
ハミルトンの四元数（クォータニオン，quaternion）について基礎から解説します。三次元空間における回転の記述を理解することが目標です。
目次
四元数（クォータニオン）とは
四元数に関連する定義
四元数の性質
三次元空間中の回転
回転の例
回転の合成と四元数の積

math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/index.html
蒲谷　祐一
math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/misc/2017/kabaya_4_for_web.pdf
群論入門大学院副コース　情報の取得と解析 蒲谷　祐一第４回（2017 11月30日）
今回の予定：
先週までの内容と趣向が変わるが空間の回転を表す群（直交群），四元数（quaternion）を紹介．

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算（英語版）でも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。
三次元および四次元の回転群
詳細は「回転 (数学)」を参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/459

460: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 19:12:16.72 ID:w/QxknnI

>>421 補足
>as Remmert 2012

Remmert氏は、たしか 複素関数論の大家（下記）
”多変数関数理論における複素空間理論の発展に大きく関与しました”
”レンメルトの歴史的関心は、岡潔の作品の編集やハウスドルフ版の共同編集者としても明らかでした”
とありますね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Reinhold_Remmert
Reinhold Remmert (22 June 1930 – 9 March 2016[1][2]) was a German mathematician. Born in Osnabrück, Lower Saxony, he studied mathematics, mathematical logic and physics in Münster. He established and developed the theory of complex-analytic spaces in joint work with Hans Grauert. Until his retirement in 1995, he was a professor for complex analysis in Münster.

Remmert wrote two books on number theory and complex analysis, which contain a huge amount of historical information together with references on important papers in the subject.

https://de.wikipedia.org/wiki/Reinhold_Remmert
Reinhold Remmert (* 22. Juni 1930 in Osnabrück; † 9. März 2016 ebenda[1]) war ein deutscher Mathematiker. Er zählte zu den führenden deutschen Funktionentheoretikern der Nachkriegszeit.
（google訳）
人生と仕事
1949 年から 1954 年まで、レンメルトはミュンスターのヴェストファーレン ヴィルヘルム大学で数学、数理論理学、物理学をハインリヒ ベンケに師事し、 1954 年に解析集合の正則写像と有理型写像に関して博士号を取得しました。 [ 2 ]
1950 年代以降、ハンス グラウエルトやカール シュタインと一部共同で、多変数関数理論における複素空間理論の発展に大きく関与しました。
1957 年に彼の適切なマッピング定理はよく知られています。1957 年にミュンスターでのリハビリテーションを終えた後、1960 年にエアランゲンで最初の教授の職を得ました。
1963年にゲッティンゲンへの招集に応じ、1967年にミュンスターでベンケの後任となり、1995年に引退するまでミュンスターに留まった。レンメルトは、高等研究所やパリ近郊のIHESなどで何度か客員教授を務めました。

彼は関数理論に関する 2 巻の教科書の著者であり、この教科書には、そのような教科書ではほとんど取り上げられない多くの内容と多くの歴史的情報も含まれています。
レンメルトの歴史的関心は、岡潔の作品の編集やハウスドルフ版の共同編集者としても明らかでした。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/460

464: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 23:41:19.53 ID:w/QxknnI

Rudinさんか
不勉強で、よく存じませんが、貼っておきます

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3
ウォルター・ルーディン（Walter Rudin, 1921年5月2日 - 2010年5月20日）は、アメリカ合衆国の数学者。元ウィスコンシン大学マディソン校教授。

人物
Principles of Mathematical Analysis、Functional Analysis、Real and Complex Analysisという3部の解析学の教科書を著したことで知られる。中でもPrinciples of Mathematical AnalysisとReal and Complex Analysisは、それぞれ「ベビー・ルーディン」、「ビッグ・ルーディン」の愛称で呼ばれ親しまれている。

1921年、オーストリアでユダヤ人の家庭に生まれた。1938年のアンシュルス（ナチス・ドイツによるオーストリア合邦）後、家族と共にフランスへ逃れた。1940年にフランスがドイツに降伏すると、イギリスに逃亡し残りの戦時中をイギリス海軍に服役して過ごした。終戦後、アメリカ合衆国に渡り、1949年にノースカロライナ州のデューク大学で博士号を取得した。その後、マサチューセッツ工科大学でC.L.E. ムーア教官職を務めた後、ウィスコンシン大学で教授に就任した。

1953年、数学者だったメアリー・エレン・ルーディンと結婚し、ウィスコンシン州マディソンで建築家のフランク・ロイド・ライトによって設計された邸宅に住んでいた。

2010年5月20日、パーキンソン病のため死去[1]。89歳没。

https://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Rudin
Walter Rudin
Walter Rudin (May 2, 1921 – May 20, 2010[2])
In addition to his contributions to complex and harmonic analysis, Rudin was known for his mathematical analysis textbooks: Principles of Mathematical Analysis,[4] Real and Complex Analysis,[5] and Functional Analysis.[6] Rudin wrote Principles of Mathematical Analysis only two years after obtaining his Ph.D. from Duke University, while he was a C. L. E. Moore Instructor at MIT. Principles, acclaimed for its elegance and clarity,[7] has since become a standard textbook for introductory real analysis courses in the United States.[8]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/464

468: １３２人目の素数さん [] 2024/10/27(日) 08:03:32.88 ID:Z5ZBv6ab

同21より 転載
>１のｎべき根をｎより小さいべき根で表す方法

ちょうど、海城中高 Galois生誕200年記念 2011年度数学科夏期リレー講座 があるので
下記を見て下さい
（ここにpdfへのリンクがあって、講義のpdfがゲットできます）
中高一貫校なので、とっつきやすいでしょう

www.kaijo.ed.jp/students/3372
海城中高
数学科
Galois生誕200年記念
2011年度数学科夏期リレー講座（2011/8/22〜8/27）
・初日　　Galoisの生涯とGalois理論概説　平山裕之
・２日目　集合から群まで　小澤嘉康
・３日目　いろいろな群　宮?ｱ篤
・４日目　部分群と正規部分群　春木淳
・５日目　2次方程式と3次方程式のGalois理論　川崎真澄
・６日目　４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論　網谷泰治
・全日　　授業レポートと担当者および受講者の声
(引用終り)

なお
・６日目　４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論　網谷泰治
より抜粋

6 1のべき乗根(付録A)
この節では,n次方程式Xn−1=0が開べきで解けるという,Gaussによる定理を紹介します。計算を通して,雰囲気を掴んでみましょう。

一般に, 次が成立します。
定理2
pを素数とする。方程式Xp−1+Xp−2+···+X2+X+1=0のQ上のGalois 群をGとすると,
G={e,σ,σ2,...,σp−2} ∼ =Zp−1　(p−1)次の巡回群

Gauss (1777–1855) によって, 一般に次が証明されています。
定理3
n次方程式Xn−1=0は, 開べきで解ける。ゆえに,1のべき乗根は, 開べきで表せる。
【注意】　Galois 理論は, 5次以上の方程式が解けないことを示すわけではありません。
定理3のような特別な形をした方程式は,nの値によらず常に解けることをいっているのです。
(引用終り)

ここの”6 1のべき乗根(付録A)”が、参考になるでしょう
ラグランジュ分解式は役に立つ
しかし、ラグランジュ分解式は必須ではない
ラグランジュ分解式を使わずに解ける場合が、多々ある
一例が、「近世数学史談」高木先生の冒頭のガウスの手紙にある
円の17等分が平方根で解ける話です（下記）
ガウスは、cos 2π/17 を 三角関数の1/n公式 から すらすらと 平方根表示を導いています
繰り返すが、ラグランジュ分解式は役に立つが、必須ではない

それが理解できないアホなやつがいます

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2
十七角形

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/468

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