[過去ﾛｸﾞ] フェルマーの最終定理の普通の証明 (1002ﾚｽ)
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302: 11/06(水)09:17 ID:9D+SMySu(5/16) AAS
x や dy の意味
「dx の意味」についてはやはり厳密な議論は初等的にはできませんので、これは諦めます
が、多分参考になるであろう事を若干書きます。
303: 11/06(水)09:18 ID:9D+SMySu(6/16) AAS
一般に（微分可能な）関数 f(x)に対して、df と書かれる「f の微分」という概念があ
ります。この概念が導関数（あるいは微分商と呼ばれる）df/dx に比べて、捉え難い理由
は、導関数は関数なのであるのに対して「微分」は関数でも数でもないという点です。
304: 11/06(水)09:18 ID:9D+SMySu(7/16) AAS
言わばそれらとは関係があるが全く別の概念なのです。もちろん、直観的には「微小変
化」という事で捉えられるし、それはそれで有用な解釈なのですが、数学的に厳密に捉え
るのは初等的には容易ではありません。歴史的に見ても、上で言う微分の概念はニュート
ンの師バーロウが既に持っていたものですが、数学的な基礎付けはずっと後の話しです。
305: 11/06(水)09:20 ID:9D+SMySu(8/16) AAS
ですから、ここではこの「微分」の定義をするより、なぜそのようなものを
考えるのか、導関数だけではいけないのはなぜかという点と、微分と導関数の
関係について説明します。
306: 11/06(水)09:23 ID:9D+SMySu(9/16) AAS
まず、微分を考える理由は
「導関数」という概念は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない
という事です。
307: 11/06(水)09:24 ID:9D+SMySu(10/16) AAS
つまり、導関数を求めている時、すなわち関数 f の「微分をする」と
いう時、われわれは必ず何らかの座標、たとえば x についての導関数を
求めているわけです。違う座標をとれば導関数は異なります（鎖法則！）。
308: 11/06(水)09:25 ID:9D+SMySu(11/16) AAS
ですから、解析力学や微分幾何学等で「座標の取り方に依らない」より
明解な議論をしようとする時に、導関数よりも微分の概念の方が重要とな
り、そのため微分形式等の理論装置が出来て来たわけです。
ではこの微分というものと導関数の関係はどうなっているのでしょうか。
309: 11/06(水)09:26 ID:9D+SMySu(12/16) AAS
まず、「微分」というものそのものは依然得体の知れないものだが
「微分」には関数が掛けられる、つまり、
微分×関数はまた微分になる
という事を認めて下さい。
310: 11/06(水)09:26 ID:9D+SMySu(13/16) AAS
さらに座標関数（たとえば x という関数）を考えて下さい。
これの「微分」dx はちょっと特別な性質を持ってます。それは
「任意の関数の微分は dx に何らかの関数を掛けた形に一意的に書ける」
という事。
311: 11/06(水)09:29 ID:9D+SMySu(14/16) AAS
つまり、微分可能などんな関数 f を持って来ても df = hdx となる様な
別の関数 h が必ず見つかり、しかも唯一見つかるという事です。実はこの
h というのが「座標 x に関する f の導関数」なのです。
312: 11/06(水)09:29 ID:9D+SMySu(15/16) AAS
これから導関数を微分商の形に書いた優雅な式
df = (df/dx)dx
が得られるわけですが、これは二つの微分を割って得られたというものでは
なく、上の様な手続きで得られた式なのだという方が若干厳密です。
313: 11/06(水)09:30 ID:9D+SMySu(16/16) AAS
いわゆる「微分」という概念は、天才達の直覚に閃き、永年の進歩趨勢の
中で鍛錬され、その存在が徐々に厳密化されて来た数多くの「深い」概念の
一つだと思います。
314: 真龍 11/06(水)09:38 ID:/yaqnAfm(2/11) AAS
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=n(x^(n-1)+…)が成り立つならば、
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=kn(x^(n-1)+…)/kも成り立つ。…(A)
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=n(x^(n-1)+…)が成り立たないならば、
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=kn(x^(n-1)+…)/kも成り立たない。…(B)
315: 真龍 11/06(水)11:01 ID:/yaqnAfm(3/11) AAS
X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をｙ^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2とおくと、(3+1)=xとなるので、成り立つ。
よって、(y-1)(y+1)=k2x/kも成り立つ。
∴X^2+Y^2=Z^2は自然数解を無数に持つ。
316: 真龍 11/06(水)11:02 ID:/yaqnAfm(4/11) AAS
X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をｙ^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3とおくと、21=(x^2+x)となるので、成り立たない。
よって、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成り立たない。
∴X^3+Y^3=Z^3は自然数解を持たない。
317: 真龍 11/06(水)11:03 ID:/yaqnAfm(5/11) AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをｙ^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nとおくと、両辺の偶奇が異なるので、成り立たない。
よって、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成り立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
318: 11/06(水)12:15 ID:rCRJ5mRV(1/2) AAS
>(2)は(y-1)=nとおくと、両辺の偶奇が異なるので、成り立たない。
これ自体は正しい
319: 真龍 11/06(水)12:30 ID:/yaqnAfm(6/11) AAS
>>(2)は(y-1)=nとおくと、両辺の偶奇が異なるので、成り立たない。
これ自体は正しい
(y-1)=knとおくと、(B)により、
(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)/kは成り立たない。
320: 11/06(水)12:35 ID:rCRJ5mRV(2/2) AAS
(B)が示されていないのででたらめ
321: 真龍 11/06(水)13:20 ID:/yaqnAfm(7/11) AAS
>(B)が示されていないのででたらめ
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=n(x^(n-1)+…)が成り立たないならば、
(y-1)(y^(n-1)+…+1)=kn(x^(n-1)+…)/kも成り立たない。…(B)
k/k=1なので、成り立ちません。
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