「名誉教授」のスレ2 (602ﾚｽ)
上下前次1-新
350(1): 01/03(金)18:53 ID:vhNj2N2B(6/6) AAS
>各ｐでランダムに選んだ剰余類の要素の無限列が
>必ずある自然数ｎ∈N＼{0}に対応する、といえる？
ｐで添え字づけられた剰余類の列全体の集合
{{a_p}; a_p\in{m+pZ;m\inZ}, pは素数}の
cardinalityはRのそれに等しい。
351: 01/03(金)19:24 ID:SOzf52p+(5/5) AAS
>>350
Rとは実数全体のことかい？ もしそうなら
Rは非可算、Nは可算、だから
自然数に対応しないものはたくさんある、ってことだね
ところで、Zの射有限完備化Z^って知ってる？
347で述べたものがこれに当たるってことは分かる？
352(1): 01/03(金)21:35 ID:REUfzWeO(3/4) AAS
profinite completionは
院生の時トポロジーを専攻していたやつに
教わった。
耳学問に過ぎないが。
353(1): 01/03(金)21:49 ID:REUfzWeO(4/4) AAS
>自然数に対応しないものはたくさんある
腐るほどある
354(1): 01/04(土)06:47 ID:kAb8tLq9(1/3) AAS
>>349
>測度は｛０｝、｛１｝それぞれに１／２を割り当てればいい
この測度を選択するために必要な測度がある。
多分気づいていると思うが。
355: 01/04(土)07:38 ID:6lrI3oEN(1/11) AAS
>>354
そんなのないんじゃね？
０，１は実際には偶数全体の集合、奇数全体の集合
だからN全体を１とし、それぞれを1/2とするＮ上の（確率）測度が必要なはず
と思ってるみたいだけど、
偶数全体、奇数全体を一つの元として扱い、さらなる分割をしない
のであれば不必要だな
そこ、全然気づいてなかったと思うけど
356(1): 01/04(土)08:00 ID:6lrI3oEN(2/11) AAS
>>352-353
Z^全体を1とし、Z^における任意の元aの加法で不変となる測度がある、とする このとき
１．Zの測度はいかほど？
２．Z^/Zの各要素集合から１つ要素を抜き出した全体の集合S(⊂Z^)の測度はいかほど？
357(1): 01/04(土)08:25 ID:kAb8tLq9(2/3) AAS
>偶数全体、奇数全体を一つの元として扱い
そうすることが妥当であることを保証する測度というものが
あることを指摘しておきたい
同値類全体の集合上の自然な測度は
その集合が二元集合であろうとも
同値関係の選び方によって変わりうる
358(1): 01/04(土)08:34 ID:kAb8tLq9(3/3) AAS
訂正
そうすることが妥当である
ーー＞
各元に1/2を割り当てることが妥当である
359: 01/04(土)09:49 ID:6lrI3oEN(3/11) AAS
>>357-358
> 同値関係の選び方によって変わりうる
同値関係を変える必要ある？
> 妥当であることを保証する
そもそも(1-(1/2)^2)(1-(1/3)^2)(1-(1/5)^2)…=6/π^2の確率論的解釈だから
>>347で書いた「（任意のｐについて）ｐで割った剰余類からランダムに選ぶ」で終わりじゃね？
その場合、選んでるのはNとかZの元じゃなくその射有限完備化であるZ^じゃね、って話
その流れ、わかってる？
360: 01/04(土)10:40 ID:IPFlTR2X(1) AAS
>同値関係を変える必要ある？
変える変えないの問題ではなく
測度の選択がその同値関係が何であるかによっているということへの
認識が欠けたままではちゃんとした議論に
ならないのでは？
361(1): 01/04(土)12:05 ID:6lrI3oEN(4/11) AAS
>測度の選択がその同値関係が何であるかによっている
そもそも(1-(1/2)^2)(1-(1/3)^2)(1-(1/5)^2)…という式の解釈が
特定の同値関係に依存していると思ってます
>ということへの認識が欠けたままでは
それはわたしに対するあなたの想像であって
実際は正しくなかったということですね
>ちゃんとした議論にならないのでは？
あなたは議論ではなく説教をしたかったと思ってますが
案に相違してわたしはあなたが分かってないと思ってたことをわかっていたので
説教の必要がなくなったと思ってます 残念だった？
362: 01/04(土)12:06 ID:6lrI3oEN(5/11) AAS
>>356の問いの答え まだ？
363(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/04(土)14:15 ID:JiQXGw+V(1/6) AAS
AA省
364: 01/04(土)14:34 ID:QOztWUjU(1/6) AAS
「自然数をランダムに選ぶ」というのは言葉の綾で
正確には、「1〜nまでの自然数の中からランダムに選ぶ」
という状況をn→∞ という極限で考えているのだろう。
これをmod pで考えたとき既約剰余に入る確率が
(1-1/p)としてよいのはnがpで割れるときのみで、そうでない
ときは誤差が出る。その誤差はn→∞で0になるが
素数pの集合も無限になるので、「誤差の累積」がどうなるかは
検討を要する。
「2個の自然数をランダムに選ぶ」という場合も同様だが
前者との違いは、Π(1-1/p^2)が収束するということ。
省3
365: 01/04(土)14:39 ID:QOztWUjU(2/6) AAS
音読しても数学は分かるようにならないですね。
音読するという行為が、「理解していない自分を納得させるため」
だとすれば、理解しないまま音読しても、不理解の上に不理解を
重ねることになり、不理解の複雑骨折という状況に陥りかねない。
事実、それらしきひとが見受けられる。
366(1): 01/04(土)15:58 ID:QOztWUjU(3/6) AAS
ウィキペディアだって、本当か？ということは書いてある。
>各 p に対して、これらの試行は独立だから、
とさらっと言ってるが、これだって検討が必要だし
状況によっては「独立ではない」ことを示唆する結果が導かれる。
ただし、「互いに素な確率」の計算結果自体は正しい。
それというのもΠ(1-1/p^2)が収束するから。
「音読してるひと」はその論点も素通り。
367: 01/04(土)16:39 ID:6lrI3oEN(6/11) AAS
>>363
> そうかな？
素人は横から口出さなくていいよ
何も考えずにウィキペディアを鵜呑みにしてはいかんし
Zの射有限完備化も知らん君の口出し、全く価値がないよ
残念だったね
368: 01/04(土)16:42 ID:6lrI3oEN(7/11) AAS
∏ p: prime {1−(1/p)^2}=(∏ p: prime 1/(1−p^−2))−1=1/ζ(2)=6/π^2
の{1−(1/p)^2}が何を意味するかが肝心
結局、各pについて、どちらも余り0の確率を(1/p)^2として
そうでない場合の確率を1−(1/p)^2としているだけのこと
各pについての余りの値をランダムかつ独立に決めてるけど
その全体が必ずN（もしくはZ）のある要素に1対1に対応するのかい？
有限個のp1,…,pnについて中国剰余定理が成り立つからって
無限個のp1,… についても剰余から対応するN（もしくはZ）の元が見つかる
というわけではないよ
369(1): 01/04(土)16:47 ID:6lrI3oEN(8/11) AAS
>>366
Π(1-1/p^2) というなら、
各 p に対して、これらの試行は独立、と前提していいよ
肝心なのは、その試行で選ばれたものが、
NとかZとかの元だと言い切れるのか？
ってこと
Π(1-1/p^2)が収束するというだけでは
「Nの２つの要素a,bが互いに素な確率」
とはいえない
問題は、２つの要素a,bが互いに素、ではなく
省1
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