「名誉教授」のスレ2 (125ﾚｽ)
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94(1): 11/16(土)18:50 ID:XoMbXEhc(3/5) AAS
>>90
>>円周の一部にディリクリ境界条件を与えた時のラプラス方程式の解を求めよ
>解が一意的であるための条件は？
>>81 より
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ccmath.meijo-u.ac.jp
2次元調和関数のいくつかの話題 鈴木紀明 Noriaki Suzuki
名城大学囲碁部の顧問・理工学部数学教室
(文字化けご容赦 あまり真面目に直していないので 原文ご参照)
P6
§4. 単位円板におけるディリクレ問題
Ω をR2 の領域とし，f を∂Ω上の(実数値)連続関数とする．Ω上の連続関数hで(4.1) h はΩで調和で，かつ lim X→Y h(X) = f(Y) (∀Y ∈∂Ω)を満たすものを，f に対するΩでのディリクレ問題の解と言う．
定理4.1 Ω が有界ならば，ディリクレ問題の解は存在すれば一意的である．
ディリクレ問題は解がない場合もあるが(後の問題4.6)，Ωが単位円板なら解を具体的に表示できる．そのためにポアソン核とポアソン積分を導入する．次の関数P(z,ζ) を(単位円板の) ポワソン核と呼ぶ：
（便所板に書くのは式が難しい）
また，単位円周∂D(0,1) 上の連続関数f に対して，
（便所板に書くのは式が難しい）
をf のポアソン積分と言う．ポアソン核は次の性質を持つ：
定理4.2 (単位円板におけるディリクレ問題)単位円板ではポアソン積分がディリクレ問題の解を与える．すなわち，h(z)=P[f](z) とすると，h は D(0,1) で調和になり次を満たす：(4.4) lim z→ζ0 h(z) = f(ζ0) (∀ζ0 ∈ ∂D(0,1)).
[証明]略す
（便所板に書くのは式が難しい）
§5. 楕円領域におけるディリクレ問題
略す
§6. ディリクレ原理による解法
定理5.1 のディリクレ原理を使った別証を考える．
略す
ディリクレ原理とはディリクレ積分の値I(p+v) を最小にする関数v によって解を求める方法である．
4内積から定まるノルムに関して完備な線形空間がヒルベルト空間である．ヒルベルト空間上のに任意の有界線形汎関数は内積で表現される(リースの表現定理)．有限次元なので，V の完備性やv→D(p,v) の有界性は自動的に成り立つ．
一般のディリクレ問題についてもディリクレ原理を適用してみよう．Ωは有界領域とし，境界∂Ω上の連続関数f に対して，次を考える：(6.5) F :={u∈C2(Ω)∩C(Ω); u = f (∂Ω の上で)}定理 6.2 F の関数の中でディリクレ積分の値を最小とするものがディリクレ問題の解を与える．すなわち，h∈F が(6.6) inf u∈F I(u) ≥ I(h)を満たせばhはΩで調和になり，h=f が∂Ωで成り立つ．この定理によって，すべての有界領域でディリクレ問題は解を持つと思われていた．しかしこの定理には欠陥があった．定理は(6.6) を満たす h が存在すれば正しい．しかし，実際はFが空でないことや(6.6) の左辺が有限になることも不明であり，最も深刻な問題は (6.6) の下限は最小値を持つことがまったく自明でないことである．これはワイエルシュトラスの指摘であった5．
つづく
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