「名誉教授」のスレ2

「名誉教授」のスレ2 (135ﾚｽ)
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94: １３２人目の素数さん [] 2024/11/16(土) 18:50:33.13 ID:XoMbXEhc

>>90
>>円周の一部にディリクリ境界条件を与えた時のラプラス方程式の解を求めよ
>解が一意的であるための条件は？

>>81 より
https://ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/dl/2%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%AC%9B%E7%BE%A9.pdf
2次元調和関数のいくつかの話題 鈴木紀明　Noriaki Suzuki
名城大学囲碁部の顧問・理工学部数学教室
(文字化けご容赦 あまり真面目に直していないので 原文ご参照)
P6
§4. 単位円板におけるディリクレ問題
Ω をR2 の領域とし，f を∂Ω上の(実数値)連続関数とする．Ω上の連続関数hで(4.1) h はΩで調和で，かつ lim X→Y h(X) = f(Y) (∀Y ∈∂Ω)を満たすものを，f に対するΩでのディリクレ問題の解と言う．

定理4.1 Ω が有界ならば，ディリクレ問題の解は存在すれば一意的である．

ディリクレ問題は解がない場合もあるが(後の問題4.6)，Ωが単位円板なら解を具体的に表示できる．そのためにポアソン核とポアソン積分を導入する．次の関数P(z,ζ) を(単位円板の) ポワソン核と呼ぶ：

（便所板に書くのは式が難しい）

また，単位円周∂D(0,1) 上の連続関数f に対して，

（便所板に書くのは式が難しい）

をf のポアソン積分と言う．ポアソン核は次の性質を持つ：

定理4.2 (単位円板におけるディリクレ問題)単位円板ではポアソン積分がディリクレ問題の解を与える．すなわち，h(z)=P[f](z) とすると，h は D(0,1) で調和になり次を満たす：(4.4) lim z→ζ0 h(z) = f(ζ0) (∀ζ0 ∈ ∂D(0,1)).

[証明]略す
（便所板に書くのは式が難しい）

§5. 楕円領域におけるディリクレ問題
略す

§6. ディリクレ原理による解法
定理5.1 のディリクレ原理を使った別証を考える．
略す

ディリクレ原理とはディリクレ積分の値I(p+v) を最小にする関数v によって解を求める方法である．

4内積から定まるノルムに関して完備な線形空間がヒルベルト空間である．ヒルベルト空間上のに任意の有界線形汎関数は内積で表現される(リースの表現定理)．有限次元なので，V の完備性やv→D(p,v) の有界性は自動的に成り立つ．

一般のディリクレ問題についてもディリクレ原理を適用してみよう．Ωは有界領域とし，境界∂Ω上の連続関数f に対して，次を考える：(6.5) F :={u∈C2(Ω)∩C(Ω); u = f (∂Ω の上で)}定理 6.2 F の関数の中でディリクレ積分の値を最小とするものがディリクレ問題の解を与える．すなわち，h∈F が(6.6) inf u∈F I(u) ≥ I(h)を満たせばhはΩで調和になり，h=f が∂Ωで成り立つ．この定理によって，すべての有界領域でディリクレ問題は解を持つと思われていた．しかしこの定理には欠陥があった．定理は(6.6) を満たす h が存在すれば正しい．しかし，実際はFが空でないことや(6.6) の左辺が有限になることも不明であり，最も深刻な問題は (6.6) の下限は最小値を持つことがまったく自明でないことである．これはワイエルシュトラスの指摘であった5．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730952790/94

121: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/21(木) 14:44:17.76 ID:WEerohY5

>>94-96
再録
ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/dl/2%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%AC%9B%E7%BE%A9.pdf
2次元調和関数のいくつかの話題 鈴木紀明　Noriaki Suzuki
名城大学囲碁部の顧問・理工学部数学教室
(ディリクレ問題の発展の歴史(数学セミナー2005年11月号に掲載)
Dirichlet 問題の発展の歴史
(引用終り)

ふと思い出したのが、
弦理論におけるDブレーン

”DブレーンのDは、後述するディリクレ境界条件（Dirichlet）に由来する”という
素人の思いつきですが、メモ貼っておきます

ポルチンスキーの
Dブレーンの考えは、弦理論の物理に革命を起こしたと言われています

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/D%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3
Dブレーン
弦理論におけるブレーン（membrane＝膜）は、弦なども含む、広がりを持った物理的対象全般を表す語である。Dブレーンもまた弦と同様に、伸縮や振動などの運動を行う。通常、Dブレーンは弦に比べて非常に大きいものとして記述されるが、素粒子サイズのものを考えることも可能である。例えばハドロン物理学をブレーン上の物理現象として記述するホログラフィックQCDでは、陽子もまた微小なDブレーンとして記述される。[1]

DブレーンのDは、後述するディリクレ境界条件（Dirichlet）に由来する。DブレーンはDai、Leighおよびジョセフ・ポルチンスキー、そしてそれとは独立にHoravaによって1989年に発見された。

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E5%A2%83%E7%95%8C%E6%9D%A1%E4%BB%B6
ディリクレ境界条件（ディリクレきょうかいじょうけん）あるいは第1種境界条件は、微分方程式における境界条件の一つの形状であり、境界条件上の点の値を直に与えるものである。

en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_boundary_condition
Dirichlet boundary condition
PDE
For a partial differential equation, for example,
∇^2y+y=0,
where ∇^2 denotes the Laplace operator, the Dirichlet boundary conditions on a domain Ω ⊂ Rn take the form
y(x)=f(x)∀x∈∂Ω,
where f is a known function defined on the boundary ∂Ω.

Applications
For example, the following would be considered Dirichlet boundary conditions:
・In mechanical engineering and civil engineering (beam theory), where one end of a beam is held at a fixed position in space.
・In heat transfer, where a surface is held at a fixed temperature.
・In electrostatics, where a node of a circuit is held at a fixed voltage.
・In fluid dynamics, the no-slip condition for viscous fluids states that at a solid boundary, the fluid will have zero velocity relative to the boundary.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730952790/121

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